逻辑回归的损失函数
线性回归的损失函数是平方损失。逻辑回归的损失函数是对数损失，定义如下：
$$\text{Log Loss} = \sum_{(x,y)\in D} -y\log(y') - (1 - y)\log(1 - y')$$
其中：
- \((x,y)\in D\) 是包含许多有标签样本（即成对数据集）的数据集。 \((x,y)\)
- \(y\) 是有标签样本中的标签。由于这是逻辑回归，因此 \(y\) 的每个值都必须是 0 或 1。
- \(y'\) 是针对 \(x\)中的一组特征的预测值（介于 0 和 1 之间）。
逻辑回归中的正则化
正则化在逻辑回归建模中极其重要。如果不进行正则化，高逻辑维度下的逻辑回归的渐近性会不断促使损失接近 0。因此，大多数逻辑回归模型都使用以下两种策略之一来降低模型复杂性：
- L2 正则化。
- 早停法，即限制训练步数或学习速率。
（我们将在后续单元中讨论第三个策略，即 L1 正则化。）
假设您为每个示例分配一个唯一 ID，并将每个 ID 映射到其自己的特征。如果您不指定正则化函数，模型将完全过拟合。这是因为模型会尝试在所有样本上将损失降低为零，并且永远无法实现，从而将每个指示器特征的权重提高至 +无穷大或-无穷大。当有大量罕见的交叉时，仅在一个样本上发生，就会出现包含特征组合的高维度数据。
幸运的是，使用 L2 或早停法可以防止此问题出现。