Unter den Annahmen der Austauschbarkeit und Konsistenz kann die bedingte Erwartung eines potenziellen KPI-Ergebnisses \(\overset \sim Y_{g,t}^{
\left(\left\{ x_{g,t,i}^{(\ast)} \right\}\right) }\) in Form einer bedingten Erwartung ausgedrückt werden, die mit einem Regressionsmodell geschätzt werden kann. Dabei steht \(x_{g,t,i}^{(\ast)}\) für die Menge der beeinflussbaren Testvariablen: Media, organische Media und nicht mediabezogene Testgruppen. Zur Veranschaulichung gehen wir davon aus, dass die kostenpflichtigen und organischen Media-Channels hier impressionbasiert sind. Folgendes trifft jedoch auch auf reichweiten- und häufigkeitsbasierte Channels zu.
Gemäß den Definitionen unter Eingabedaten kann dies so formuliert werden:
$$
\begin{align*}
\overset \sim Y_{g,t} &= u_{g,t}^{[Y]} \overset {\cdot \cdot} Y_{g,t} \\
&= u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1}(Y_{g,t})
\end{align*}
$$
Meridian nutzt auch die Tatsache, dass die Funktion zur KPI-Transformation \(L_{g,t}^{[Y]}(\cdot)\) vor der Modellierung linear ist und daher außerhalb des Operators für bedingte Erwartungen übergeben werden kann. Dies führt zur folgenden Gleichung, wobei das Ergebnis eine Größe ist, die anhand eines Regressionsmodells, wie z. B. dem Meridian-Modell, geschätzt werden kann:
$$
\begin{align*}
E\left(\overset \sim Y_{g,t}^{(\left\{ x_{g,t,i}^{(\ast)} \right\})} \Big|
\bigl\{ z_{g,t,i} \bigr\} \right)
&= E\left( \overset \sim Y_{g,t} \Big|
\bigl\{x_{g,t,i}^{(\ast)}\bigr\}, \bigl\{z_{g,t,i}\bigr\} \right) \\
&= E\left( u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1}(Y_{g,t}) \Big|
\bigl\{ x_{g,t,i}^{(\ast)} \bigr\}, \bigl\{z_{g,t,i}\bigr\} \right) \\
&= u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1} E\left( Y_{g,t} \Big|
\bigl\{ x_{g,t,i}^{(\ast)} \bigr\}, \bigl\{z_{g,t,i}\bigr\} \right)
\end{align*}
$$
Auf dieser Grundlage kann die Regression verwendet werden, um den inkrementellen KPI zwischen zwei beliebigen kontrafaktischen Szenarien \(\left\{ x_{g,t,i}^{(1)} \right\}\) und \(\left\{ x_{g,t,i}^{(0)} \right\}\) zu schätzen:
$$
\begin{align*}
\text{IncrementalKPI} \left( \bigl\{ x_{g,t,i}^{(1)} \bigr\},
\bigl\{ x_{g,t,i}^{(0)} \bigr\} \right)
&= E\left( \sum\limits_{g,t}\left( \overset \sim Y_{g,t}^{
\left( \left\{ x_{g,t,i}^{(1)} \right\} \right)
} - \overset \sim Y_{g,t}^{
\left( \left\{ x_{g,t,i}^{(0)} \right\} \right)
} \right) \Bigg| \bigl\{ z_{g,t,i} \bigr\} \right) \\
&= \sum\limits_{g,t}u_{g,t}^{[Y]}L_g^{[Y]-1}
\left( E\left( Y_{g,t} \Big| \bigl\{ x_{g,t,i}^{(1)} \bigr\},
\bigl\{ z_{g,t,i} \bigr\} \right)\right) -
\sum\limits_{g,t}u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1}
\left( E\left( Y_{g,t} \Big| \bigl\{ x_{g,t,i}^{(0)} \bigr\},
\bigl\{ z_{g,t,c} \bigr\}
\right) \right)
\end{align*}
$$
Unter der Meridian-Modellspezifikation:
$$
\begin{align*}
E\left( Y_{g,t} \Big|
\bigl\{ x_{g,t,i}^{(\ast)} \bigr\}, \bigl\{ z_{g,t,i} \bigr\} \right) =
\mu_t &+ \tau_g + \sum\limits_{i=1}^{N_C} \gamma^{[C]}_{g,i}z_{g,t,i} \\
&+ \sum\limits_{i=1}^{N_N} \gamma^{[N]}_{g,i}x^{[N] (\ast)}_{g,t,i} \\
&+ \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta^{[M]}_{g,i} \text{HillAdstock} \left(
\bigl\{ x^{[M] (\ast)}_{g,t-s,i} \bigr\}^L_{s=0};\ \alpha^{[M]}_i, ec^{[M]}_i, \text{slope}^{[M]}_i
\right) \\
&+ \sum\limits_{i=1}^{N_{OM}} \beta^{[OM]}_{g,i} \text{HillAdstock} \left(
\bigl\{ x^{[OM] (\ast)}_{g,t-s,i} \bigr\}^L_{s=0};\ \alpha^{[OM]}_i, ec^{[OM]}_i, \text{slope}^{[OM]}_i
\right)
\end{align*}
$$
Diese Größe ist eine Funktion der Modellparameter und hat daher eine Posterior-Verteilung, aus der Meridian mithilfe der Markow-Chain-Monte-Carlo-Methode (MCMC) Stichproben ziehen kann. ROI, Grenz-ROI und Reaktionskurven können alle auf der Grundlage der inkrementellen KPI-Definition berechnet werden und jede dieser Größen hat auch eine Posterior-Verteilung.
