Splitter dokładny do klasyfikacji binarnej z cechami liczbowymi

W tej jednostce poznasz najprostszy i najczęściej stosowany algorytm splittera, który tworzy warunki w formie $\mathrm{feature}_i \geq t$ w tych ustawieniach:

• Zadanie binarnej klasyfikacji
• Przykłady bez brakujących wartości
• Bez wstępnie obliczonego indeksu w przypadku przykładów

Załóżmy, że mamy zbiór $n$ przykładów z cechą liczbową i etykietą binarną „pomarańczowy” i „niebieski”. Formalnie zbiór danych $D$ można opisać w ten sposób:

$$D = \{(x_i,y_i)\}_{i\in[1,n]}$$

gdzie:

• $x_i$ to wartość cechy liczbowej w $\mathbb{R}$ (zbiorze liczb rzeczywistych).
• $y_i$ to binarna wartość etykiety klasyfikacji w skali {pomarańczowy, niebieski}.

Naszym celem jest znalezienie wartości progowej $t$ (progres) takiej, aby podział przykładów $D$ na grupy $T(rue)$ i $F(alse)$ zgodnie z warunkiem $x_i \geq t$ poprawiał rozdzielność etykiet, np. więcej przykładów „pomarańczowych” w grupie $T$ i więcej przykładów „niebieskich” w grupie $F$.

Entropia Shannona to miara nieuporządkowania. Etykieta binarna:

• Entropia Shannona osiąga maksimum, gdy etykiety w przykładach są zrównoważone (50% niebieskiego i 50% pomarańczowego).
• Entropia Shannona jest minimalna (wartość 0), gdy etykiety w przykladach są czyste (100% niebieski lub 100% pomarańczowy).

Rysunek 8. 3 poziomy entropii.

 

Formalnie chcemy znaleźć warunek, który zmniejsza ważoną sumę entropii rozkładu etykiet w $T$ i $F$. Odpowiadająca temu wartość to wzrost informacji, który jest różnicą między entropią $D$ i entropią {$T$,$F$}. Ta różnica nazywana jest wzrostem informacji.

Rysunek poniżej przedstawia niekorzystny podział, w którym entropia pozostaje wysoka, a zysk informacji jest niski:

Rysunek 9. Nieudany podział nie zmniejsza entropii etykiety.

 

Natomiast na rysunku poniżej widać lepszy podział, w którym entropia jest niska (a informacyjność – wysoka):

Rysunek 10. Dobry podział zmniejsza entropię etykiety.

 

Formalnie:

\[\begin{eqnarray} T & = & \{ (x_i,y_i) | (x_i,y_i) \in D \ \textrm{with} \ x_i \ge t \} \\[12pt] F & = & \{ (x_i,y_i) | (x_i,y_i) \in D \ \textrm{with} \ x_i \lt t \} \\[12pt] R(X) & = & \frac{\lvert \{ x | x \in X \ \textrm{and} \ x = \mathrm{pos} \} \rvert}{\lvert X \rvert} \\[12pt] H(X) & = & - p \log p - (1 - p) \log (1-p) \ \textrm{with} \ p = R(X)\\[12pt] IG(D,T,F) & = & H(D) - \frac {\lvert T\rvert} {\lvert D \rvert } H(T) - \frac {\lvert F \rvert} {\lvert D \rvert } H(F) \end{eqnarray}\]

gdzie:

• $IG(D,T,F)$ to zyski informacyjne z podziału zbioru $D$ na zbiory $T$ i $F$.
• $H(X)$ to entropia zbioru przykładów $X$.
• $|X|$ to liczba elementów w zbiorze $X$.
• $t$ to wartość progowa.
• $pos$ to dodatnia wartość etykiety, np. „niebieski” w przykładzie powyżej. Wybranie innej etykiety jako „etykiety pozytywnej” nie zmienia wartości entropii ani zysku informacyjnego.
• $R(X)$ to stosunek wartości dodatnich etykiet w przypadku przykładów $X$.
• $D$ to zbiór danych (zdefiniowany wcześniej w tym module).

W tym przykładzie rozważamy zbiór danych do klasyfikacji binarnej z jedną cechą numeryczną $x$. Na rysunku poniżej dla różnych wartości progu $t$ (oś X) przedstawiono:

1. Histogram funkcji $x$.
2. Stosunek przykładów „niebieski” w zbiorach $D$, $T$ i $F$ zgodnie z wartością progową.
3. entropia w $D$, $T$ i $F$;
4. Zysk informacji, czyli różnica entropii między $D$ a {$T$,$F$} zważona przez liczbę przykładów.

Rysunek 11. 4 wykresy progów.

 

Te wykresy przedstawiają:

• Wykres „częstotliwość” pokazuje, że obserwacje są stosunkowo dobrze rozłożone, a ich skoncentrowanie się na wartościach od 18 do 60. Szeroki zakres wartości oznacza, że istnieje wiele potencjalnych podziałów, co jest korzystne dla trenowania modelu.

• Stosunek etykiet „niebieskich” w zbiorze danych wynosi ok. 25%. Wykres „stosunek niebieskiej etykiety” pokazuje, że w przypadku wartości progowych od 20 do 50:

  • Zbiór $T$ zawiera nadmiar przykładów etykiet „niebieskich” (do 35% dla progu 35).
  • Zestaw $F$ zawiera uzupełniający deficyt przykładów etykiet „niebieskich” (tylko 8% dla progu 35).

  Zarówno wykres „stosunek niebieskich etykiet” (ang. „ratio of blue labels”), jak i wykres „entropii” (ang. „entropy”) wskazują, że w tym zakresie progu etykiety można stosunkowo dobrze rozdzielić.

• To spostrzeżenie potwierdza wykres „wzrost informacji”. Widzimy, że maksymalny przyrost informacji uzyskujemy przy t ≈ 28, a jego wartość wynosi ~0,074. Dlatego warunek zwracany przez splitter będzie miał postać $x \geq 28$.

• Zysk informacji jest zawsze dodatni lub równy 0. Zbliża się do zera, gdy wartość progowa zbliża się do wartości maksymalnej lub minimalnej. W takich przypadkach albo $F$, albo $T$ staje się pusty, a drugi z nich zawiera cały zbiór danych i wyświetla entropię równą entropii w $D$. Zysk informacji może też wynosić 0, gdy $H(T)$ = $H(F)$ = $H(D)$. Przy progu 60 proporcje etykiet „niebieskich” zarówno dla $T$, jak i dla $F$ są takie same jak w $D$, a wzrost informacji wynosi 0.

Wartości kandydatów dla $t$ w zbiorze liczb rzeczywistych ($\mathbb{R}$) są nieskończenie. Jednak ze względu na ograniczoną liczbę przykładów istnieje tylko skończona liczba podziałów zbioru $D$ na zbiory $T$ i $F$. Dlatego tylko skończona liczba wartości $t$ jest istotna dla testu.

Klasycznym podejściem jest sortowanie wartości x_i w rosnącej kolejności x_s(i), tak aby:

$$ x_{s(i)} \leq x_{s(i+1)} $$

Następnie przetestuj $t$ dla każdej wartości leżącej w połowie odległości między kolejnymi posortowanymi wartościami funkcji $x_i$. Załóżmy na przykład, że masz 1000 wartości zmiennoprzecinkowych danej cechy. Po posortowaniu załóżmy, że pierwsze 2 wartości to 8,5 i 8,7. W tym przypadku pierwszą wartością progową do przetestowania będzie 8, 6.

Formalnie rozważamy te wartości kandydatów dla t:

$$ X = \left\{ \frac {x_{s(i)} + x_{s(i + 1)}} {2} \lvert x_{s(i)} \ne x_{s(i+1)} \right\} $$

Złożoność czasowa tego algorytmu to $\mathcal{O} ( n \log n) $, gdzie $n$ to liczba przykładów w węźle (z powodu sortowania wartości cech). Gdy jest stosowany w drzewie decyzyjnym, algorytm rozdzielania jest stosowany do każdego węzła i każdej cechy. Pamiętaj, że każdy węzeł otrzymuje około połowy przykładów swojego rodzica. Dlatego zgodnie z twierdzeniem głównym złożoność czasową trenowania schematu decyzyjnego za pomocą tego rozdrabniania można wyrazić w ten sposób:

$$ \mathcal{O} ( m n \log^2 n ) $$

gdzie:

• $m$ to liczba cech.
• $n$ to liczba przykładów treningowych.

W tym algorytmie nie ma znaczenia, jakie są wartości funkcji – liczy się tylko kolejność. Z tego powodu działa niezależnie od skali lub dystrybucji wartości cech. Dlatego podczas trenowania drzewa decyzyjnego nie trzeba normalizować ani skalować cech liczbowych.