在回归问题中，合理的做法是将带符号的误差定义为预测值和标签之间的差值。然而，在其他类型的问题中，此策略通常会导致不良结果。梯度提升中的更好策略是：
- 定义一个与神经网络中使用的损失函数类似的损失函数。例如，分类问题的熵（也称为对数损失）。
- 训练弱模型，以根据强模型输出预测损失的梯度。
正式地，给定损失函数 $L(y,p)$，其中 $y$ 是一个标签，$p$ 是一个预测项，则在第 $i$ 步用于训练弱模型的伪响应 $z_i$ 为：
$$ z_i = \frac {\partial L(y, F_i)} {\partial F_i} $$
其中：
- $F_i$ 为强模型的预测。
上面的示例是一个回归问题：目标是预测数值。对于回归，平方误差是一个常见的损失函数：
$$ L(y,p) = (y - p)^2 $$
在本例中，梯度为：
$$ z = \frac {\partial L(y, F_i)} {\partial F_i} = \frac {\partial(y-p)^2} {\partial p} = 2(y - p) = 2 \ \text{signed error} $$
简单来说，梯度就是我们示例中的因数为 2 的有符号误差。请注意，由于存在收缩，常数因素无关紧要。请注意，这种等效性仅适用于具有平方误差损失的回归问题。对于其他监督式学习问题（例如分类、排名、百分位损失回归），梯度和带符号误差之间没有等效性。
利用牛顿方法步骤优化叶片和结构
牛顿是一种优化方法，与梯度下降法类似。不过，与仅使用函数梯度进行优化的梯度下降法不同，牛顿的方法同时使用梯度（一阶导数）和二导数进行优化。
梯度下降法的一个步骤如下：
$$ x_{i+1} = x_i - \frac {df}{dx}(x_i) = x_i - f'(x_i) $$
和牛顿方法，如下所示：
$$ x_{i+1} = x_i - \frac {\frac {df}{dx} (x_i)} {\frac {d^2f}{d^2x} (x_i)} = x_i - \frac{f'(x_i)}{f''(x_i)}$$
（可选）牛顿的方法可以通过两种方式集成到梯度提升树的训练中：
- 一树训练完成后，每片叶片都会应用一个牛顿步并替换其值。树形结构保持不变；只有叶值会发生变化。
- 在树生长过程中，系统会根据一个得分（其中包含牛顿公式的组成部分）来选择条件。树木的结构会受到影响。
YDF 代码
在 YDF 中：
- YDF 始终在叶片上应用牛顿步（选项 1）。
- 您可以通过
use_hessian_gain=True启用选项 2。