メディアの飽和と遅延

通常、メディア チャネルが売り上げに与える効果には遅延があり、時間の経過とともに徐々に減少します。メリディアンのモデル アーキテクチャは、幾何級数的な Adstock 減衰関数によってこの効果を捉えるように設計されています。詳細については、カテゴリデータを使用してメディア ミックスモデルを改善する階層ベイズ アプローチとキャリーオーバー効果と形状効果を考慮したメディア ミックス モデリングのためのベイズ手法をご覧ください。

Adstock 関数

Adstock 関数は次のように定義されます。

$$ \text{AdStock}(x_t, x_{t-1}, \cdots, x_{t-L};\ \alpha)\ = \dfrac{\sum\limits_{s=0}^L\ \alpha^sx_{t-s}} {\sum\limits _{s=0}^L\ \alpha^s} $$

ここで

• \(x_s \geq 0; s = t, t-1, \cdots, t-L\)

• \(\alpha\ \in\ [0, 1]\) は幾何級数的な減衰率です。

• \(L\) は最大遅延時間です。

また、特定の期間内の特定のメディア チャネルへの費用が増加すると、最終的には収益の伸びが鈍くなる（飽和状態になる）ことは直感的にも理解できます。メリディアンでは、この飽和効果を Hill 関数と呼ばれる 2 つのパラメータ関数でモデル化します。

Hill 関数

Hill 関数は次のように定義されます。

$$ \text{Hill}(x; ec, \text{slope}) = \frac{1}{1+\left( \frac{x}{ec} \right)^ {- \text{slope}}} $$

ここで

• \(x \geq 0\)

• \(ec > 0\) は半飽和点です。つまり、\(\text{Hill}(x=ec; ec, \text{slope}) = 0.5\)となります。

• \(\text{slope} > 0\) は、関数の形状を制御するパラメータです。

  • \(\text{slope} \leq 1\) : 凹面の形状に対応します。
  • \(\text{slope} > 1\) は、 \( x < ec \) では凸、 \( x > ec \)では凹の S 字型関数に対応します。

重要: モデルによる Hill 関数パラメータの推定は、観測されたメディアデータの範囲に基づきます。適合した応答曲線はこの範囲外にも外挿できますが、外挿に基づく結果は適度な注意を払って解釈する必要があります。

Hill 関数は、ModelSpec のブール値の hill_before_adstock 引数に応じて、Adstock 変換の前または後に適用できます。デフォルト設定は hill_before_adstock = False です。この場合、地域 \(g\) と期間 \(t\)内のチャネル \(m\) のメディア効果は\(\beta_{g,m} \text{Hill}(\text{Adstock}(x_t,x_{t-1},\cdots,x_{t-L};\ \alpha_m) ;ec_m, \text{slope}_m)\)になります。