メリディアンは再パラメータ化することが可能で、各チャネルの ROI はモデル パラメータであるため、以前の ROI 情報（増分テスト、業界ベンチマーク、ドメインに関するその他の知識など）を組み込むことができます。あるいは、情報量の少ない事前分布を使うこともできます。ROI 事前分布は、すべてのメディア チャネルを平等に扱う方法になります。また ROI 事前分布は、モデルの収束性の改善や優れた適合性の実現に正則化が必要な場合に、チャネル全体に同等の正則化を適用する方法にもなります。この調整手法について詳しくは、Media Mix Model Calibration with Bayesian Priors（ベイズ事前分布を使用したメディア ミックス モデルの調整）をご覧ください。
別の方法として、メリディアンを再パラメータ化し、各チャネルの mROI をモデル パラメータにすることもできます。mROI をチャネル間で共通の値に正則化すると、予算最適化で得られる推奨予算調整も正則化されます。
さらに、メリディアンを再パラメータ化することで、貢献度（合計増分結果÷合計観測結果）をモデル パラメータにすることもできます。貢献度事前分布と ROI 事前分布の唯一の違いは分母です。貢献度事前分布の分母は合計観測結果であるのに対し、ROI 事前分布の分母はチャネルの合計費用です。
ROI、mROI、貢献度のモデルの再パラメータ化は次のように導出されます。
ROI
任意のメディア チャネル \(m\)について、そのチャネルでの結果の増分は次の式で計算されます。
$$
\begin{align}
\text{IncrementalOutcome}_m
&= \sum\limits_{g,t} L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left(
\{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right)
\right) \\
&\qquad - L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left(
\{0 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m
\right) \right)\\
&= \sum\limits_{g,t} u_{g,t}^{(y)} p_g s \beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left(
\{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \\
&= \sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m}\ ,
\end{align}
$$
ここで、$M_{g,t,m}$ は次のように定義されます。
$$
M_{g,t,m} =\ u_{g,t}^{(y)} p_g s \text{HillAdstock}\left(
\{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \ ,
$$
また \(s = \sqrt{\frac{1}{GT-1} \sum\limits_{g,t} \left( y^\dagger_{g,t}-m
\right)^2}\) は、人口でスケーリングされた KPI 値（入力データで定義済み）の標準偏差です。
$\beta_{g,m}$ と $\text{ROI}_m$ の関係は次の式で表されます。
$$
\begin{align*}
\sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m} &= \text{IncrementalOutcome}_m \\
&= \text{ROI}_m \cdot \text{Cost}_m \\
&= \text{ROI}_m \sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m} \ .
\end{align*}
$$
これで、$\beta_{g,m}$ を次のように再パラメータ化できます。
$$
\begin{align*}
\beta_{g,m} &=
\begin{cases}
\text{exp}(\beta_m + \eta_m Z_{g,m})
&,\ \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{LogNormal} \\
\beta_m + \eta_m Z_{g,m}
&,\ \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{Normal} \ ,
\end{cases}
\end{align*}
$$
ここで \(Z_{g,m}\) は、他のすべてのモデル パラメータから独立した標準正規事前分布を持ちます。この式を \(\beta_{g,m}\)に代入すると、次の方程式になります。
$$
\begin{align*}
\beta_m &= \begin{cases}
\text{log}\left( \text{ROI}_m\sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m} \right) -
\text{log}\left( \sum\limits_{g,t}exp\left( \eta_m Z_{g,m} \right)
M_{g,t,m}\right)
&, \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{LogNormal} \\
\dfrac{
\text{ROI}_m \sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m} -
\eta_m \sum\limits_{g,t}Z_{g,m}M_{g,t,m}
}{
\sum\limits_{g,t} M_{g,t,m}
}
&, \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{Normal} \ . \end{cases} \\
\end{align*}
$$
したがって、$\beta_m$ はランダム パラメータ\((\text{ROI}_m, \alpha_m, \text{slope}_m, ec_m, \{Z_{g,m}\}^G_{g=1})\) とデータ\((s, u_{g,t}^{(y)}, \{p_g\}_{g=1}^G, \{x_{g,t,m}\}_{g,t},
\{\tilde{x}_{g,t,m}\}_{g,t})\)の関数です。他のすべての値が固定されている場合、$\beta_m$ と $\text{ROI}_m$ は 1 対 1 の対応になります。したがって、このモデルは $\beta_m$ の代わりに $\text{ROI}_m$ を使用して再パラメータ化できます。重要な留意点は次のとおりです。
- ユーザー指定の事前分布は、$\text{ROI}_m$ パラメータに配置できます。
- $\beta_m$ はモデル パラメータではなくなったものの、他のパラメータの関数であるため、マルコフ連鎖モンテカルロ（MCMC）の事前分布や事後分布のサンプルを抽出するたびに引き続き計算できます。
media_effects_dist = Normal の場合、$\text{ROI}_m$ は \((-\infty, +\infty)\)の任意の値を取ることができます。media_effects_dist = LogNormal の場合、$\text{ROI}_m$ は \((0, +\infty)\)の任意の値を取ることができます。
ROI に基づいてモデルを再パラメータ化すると、事前分布の定義内容についてのみモデルが変わります。ROI のパラメータ化が使われた場合、独立した事前分布は、 \((\beta_m,
\alpha_m, \text{slope}_m, ec_m)\)ではなく\((\text{ROI}_m, \alpha_m, \text{slope}_m, ec_m)\) に配置されます。どちらの場合も、 \(\{Z_{g,m}\}^G_{g=1}\)パラメータは標準正規事前分布に割り当てられます（これらの事前分布は相互に独立し、他のすべてのモデル パラメータからも独立しています）。ROI のパラメータ化によって、 \(\beta_m\)に対する事前分布が暗黙的に生じます。ただし、この分布は \((\alpha_m, \text{slope}_m, ec_m,
\{Z_{g,m}\}^G_{g=1})\)から独立したものではなくなります。
メリディアンではデフォルトで、ROI の事前分布の分子（$IncrementalOutcome_m$）がすべての地域と期間における合計値として定義されます。しかし、roi_calibration_period 引数と rf_roi_calibration_period 引数を使用して、一部の期間における合計値として定義することもできます。一部の期間だけを考慮したほうが良い、特別なケースもあります。たとえば、MMM モデリング期間内の特定の期間を対象とするテストで ROI の事前分布を調整する場合などです。詳しくは、Media Mix Model Calibration with Bayesian Priors（ベイズ事前分布を使用したメディア ミックス モデルの調整）のセクション 3.4 をご覧ください。ほとんどの場合は、すべての期間を対象とした事前分布を定義し、より包括的な戦略内で 1 つの意思決定要因として利用可能なテスト結果を使うこと（ROI 事前分布と調整で詳述）をおすすめします。
リーチとフリークエンシーのデータがあるチャネル
リーチとフリークエンシーのデータがあるチャネルでも、同じ再パラメータ化を行うことができます。その場合は、次のように設定します。
$$
M_{g,t,n} = u_{g,t}^{(y)} p_g s \text{Adstock}\left(
\left\{ r_{g,t-\ell,n} \cdot \text{Hill}\left( f_{g,t-\ell,n};\ ec^{(rf)}_n,
\text{slope}^{(rf)}_n \right) \right\}^L_{\ell=0}\ ;\ \alpha^{(rf)}_n \right)
\ .
$$
その他の部分はすべて同じであるため、導出は繰り返されません。
限界費用対効果
別の方法として、ROI ではなく限界費用対効果の事前分布を指定することもできます。
$$
\begin{alignat}{2}
\text{MarginalIncrementalOutcome}_m
&= \sum\limits_{g,t} L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left(
\{1.01 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m
\right) \right) \\
&\quad - \sum\limits_{g,t} L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m}
\text{HillAdstock}\left(\{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;
\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right)\right) \\
&= \sum\limits_{g,t} u_{g,t}^{(y)} p_g s \beta_{g,m} \biggl\{
\text{HillAdstock}\left(\{1.01 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;
\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m\right) \\
& \hspace{8em} - \text{HillAdstock}\left(\{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;
\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \biggr\} \\
&= \sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m}\ ,
\end{alignat}
$$
ここで、$M_{g,t,m}$ は次のように定義されます。
$$
\begin{align}
M_{g,t,m} = u_{g,t}^{(y)} p_g s \biggl\{
&\text{HillAdstock}\left(\{1.01 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;
\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right)\\
&- \text{HillAdstock}\left(
\{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m\right)
\biggr\} \ .
\end{align}
$$
$\beta_{g,m}$ と $\text{MarginalROI}_m$ の関係は次の式で表されます。
$$
\begin{align*}
\sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m} &= \text{MarginalIncrementalOutcome}_m \\
&= \text{MarginalROI}_m \cdot (0.01 \cdot \text{Cost}_m) \\
&= \text{MarginalROI}_m \cdot
(0.01 \cdot \sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m}) \ .
\end{align*}
$$
次の操作を行うと、すでに説明した ROI 事前分布の \(\beta_m\) の式が、限界費用対効果の事前分布でも使用できます。
- \(M_{g,t,m}\)の代替定義を使用し、
- \(\text{ROI}_m\) を \(0.01 \cdot \text{MarginalROI}_m\)に置き換えます。
貢献度
$\beta_{g,m}$ と $\text{Contribution}_m$ の関係は次の式で表されます。
$$
\begin{align*}
\sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m} &= \text{IncrementalOutcome}_m \\
&= \text{Contribution}_m \cdot \text{ObservedOutcome} \\
&= \text{Contribution}_m \cdot \sum\limits_{g,t} \tilde{y}_{g,t} \\
&= \text{Contribution}_m \cdot \sum\limits_{g,t} \tilde{u}^{[Y]}_{g,t}
\cdot \ddot{y}_{g,t}\ .
\end{align*}
$$
その他の部分は ROI 事前分布の場合と同じです。
