Parametrización del ROI, el mROI y las contribuciones

Meridian se puede reparametrizar para que el ROI de cada canal sea un parámetro del modelo. Esto te permite incorporar información sobre la distribución a priori del ROI, como experimentos de incrementalidad, comparativas de sectores o cualquier otro conocimiento del dominio. También se pueden usar probabilidades a priori menos informativas. Las probabilidades a priori del ROI proporcionan una forma de tratar todos los canales de medios de la misma manera. Además, permiten aplicar la misma regularización en todos los canales en los casos en que se necesite este procedimiento para lograr una mejor convergencia del modelo o una mejor adecuación del ajuste. Para obtener más información sobre este método de calibración, consulta Calibración del modelo de combinación de medios con distribuciones a priori bayesianas.

Como alternativa, Meridian se puede reparametrizar para que el mROI de cada canal sea un parámetro del modelo. Regularizar el mROI a un valor común para todos los canales tiene el efecto de regularizar también los cambios de presupuesto recomendados que se obtienen de la optimización del presupuesto.

Por último, Meridian se puede reparametrizar para que la proporción de contribución (el resultado incremental total dividido por el resultado observado total) sea un parámetro del modelo. La única diferencia entre las distribuciones a priori de la contribución y del ROI es el denominador: el denominador de la distribución a priori de la contribución es el resultado observado total, mientras que el denominador de la distribución a priori del ROI es la inversión total del canal.

Las reparametrizaciones del modelo del ROI, el mROI y las contribuciones se derivan según se explica a continuación.

ROI

En cualquier canal de medios \(m\), los resultados incrementales que genera ese canal se calculan de la siguiente manera:

$$ \begin{align} \text{IncrementalOutcome}_m &= \sum\limits_{g,t} L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left( \{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \right) \\ &\qquad - L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left( \{0 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \right)\\ &= \sum\limits_{g,t} u_{g,t}^{(y)} p_g s \beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left( \{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \\ &= \sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m}\ , \end{align} $$

donde el término $M_{g,t,m}$ se define de la siguiente manera:

$$ M_{g,t,m} =\ u_{g,t}^{(y)} p_g s \text{HillAdstock}\left( \{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \ , $$

y \(s = \sqrt{\frac{1}{GT-1} \sum\limits_{g,t} \left( y^\dagger_{g,t}-m \right)^2}\) es la desviación estándar de los valores del KPI ajustados según la población, como se define en Datos de entrada.

La relación entre $\beta_{g,m}$ y $\text{ROI}_m$ se obtiene con la siguiente ecuación:

$$ \begin{align*} \sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m} &= \text{IncrementalOutcome}_m \\ &= \text{ROI}_m \cdot \text{Cost}_m \\ &= \text{ROI}_m \sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m} \ . \end{align*} $$

Ahora, $\beta_{g,m}$ se puede reparametrizar como

$$ \begin{align*} \beta_{g,m} &= \begin{cases} \text{exp}(\beta_m + \eta_m Z_{g,m}) &,\ \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{LogNormal} \\ \beta_m + \eta_m Z_{g,m} &,\ \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{Normal} \ , \end{cases} \end{align*} $$

donde \(Z_{g,m}\) tiene una distribución a priori normal estándar que es independiente de todos los demás parámetros del modelo. Si reemplazas esta expresión por \(\beta_{g,m}\), obtienes la siguiente ecuación:

$$ \begin{align*} \beta_m &= \begin{cases} \text{log}\left( \text{ROI}_m\sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m} \right) - \text{log}\left( \sum\limits_{g,t}exp\left( \eta_m Z_{g,m} \right) M_{g,t,m}\right) &, \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{LogNormal} \\ \dfrac{ \text{ROI}_m \sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m} - \eta_m \sum\limits_{g,t}Z_{g,m}M_{g,t,m} }{ \sum\limits_{g,t} M_{g,t,m} } &, \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{Normal} \ . \end{cases} \\ \end{align*} $$

Por lo tanto, $\beta_m$ es una función de parámetros aleatorios\((\text{ROI}_m, \alpha_m, \text{slope}_m, ec_m, \{Z_{g,m}\}^G_{g=1})\) y datos\((s, u_{g,t}^{(y)}, \{p_g\}_{g=1}^G, \{x_{g,t,m}\}_{g,t}, \{\tilde{x}_{g,t,m}\}_{g,t})\). Existe una correspondencia uno a uno entre $\beta_m$ y $\text{ROI}_m$ si todos los demás valores son fijos. Como resultado, el modelo se puede reparametrizar usando $\text{ROI}_m$ en lugar de $\beta_m$. Estos son algunos puntos importantes que debes tener en cuenta:

• Se puede colocar cualquier distribución a priori especificada por el usuario en los parámetros $\text{ROI}_m$.
• Aunque $\beta_m$ ya no es un parámetro del modelo, se puede calcular para cada muestra de la distribución a priori o posteriori que se obtenga con el método de Monte Carlo basado en cadenas de Markov (MCMC), ya que es una función de los otros parámetros.
• Cuando media_effects_dist = Normal, $\text{ROI}_m$ puede tomar cualquier valor en \((-\infty, +\infty)\). Cuando media_effects_dist = LogNormal, $\text{ROI}_m$ puede tomar cualquier valor en \((0, +\infty)\).

La reparametrización del modelo para centrarse en el ROI solo cambia el modelo en términos de cómo se definen las distribuciones a priori. Cuando se usa la parametrización del ROI, las distribuciones a priori independientes se definen en \((\text{ROI}_m, \alpha_m, \text{slope}_m, ec_m)\) en lugar de \((\beta_m, \alpha_m, \text{slope}_m, ec_m)\). En ambos casos, a los parámetros \(\{Z_{g,m}\}^G_{g=1}\) se les asignan distribuciones a priori normales estándares que son independientes entre sí y de todos los demás parámetros del modelo. La parametrización del ROI induce implícitamente una distribución a priori en \(\beta_m\). Sin embargo, esta distribución ya no es independiente de \((\alpha_m, \text{slope}_m, ec_m, \{Z_{g,m}\}^G_{g=1})\).

De forma predeterminada, Meridian define el numerador de la distribución a priori del ROI, $IncrementalOutcome_m$, como una suma que tiene en cuenta todos los períodos y las ubicaciones geográficas. Sin embargo, también se puede definir como una suma que tiene en cuenta un subconjunto de períodos con los argumentos roi_calibration_period y rf_roi_calibration_period. Puede haber casos especiales en los que sea preferible considerar solo un subconjunto, por ejemplo, cuando se calibra la distribución a priori del ROI con un experimento que abarca un período específico dentro del período del MMM. Para obtener más información, consulta la sección 3.4 en Media Mix Model Calibration with Bayesian Priors (Calibración del modelo de combinación de medios con distribuciones a priori bayesianas). En la mayoría de los casos, recomendamos definir la distribución a priori para todos los períodos y usar los resultados de experimentos que estén disponibles como un factor para la toma de decisiones dentro de una estrategia más holística, como se explica en Distribuciones a priori y calibración del ROI.

Canales con datos de alcance y frecuencia

Se puede realizar la misma reparametrización para los canales con datos de alcance y frecuencia con la siguiente configuración:

$$ M_{g,t,n} = u_{g,t}^{(y)} p_g s \text{Adstock}\left( \left\{ r_{g,t-\ell,n} \cdot \text{Hill}\left( f_{g,t-\ell,n};\ ec^{(rf)}_n, \text{slope}^{(rf)}_n \right) \right\}^L_{\ell=0}\ ;\ \alpha^{(rf)}_n \right) \ . $$

Todo lo demás es igual, por lo que no se repite la derivación.

ROI marginal

Como alternativa, se puede especificar una distribución a priori del ROI marginal en lugar de la del ROI.

$$ \begin{alignat}{2} \text{MarginalIncrementalOutcome}_m &= \sum\limits_{g,t} L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left( \{1.01 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \right) \\ &\quad - \sum\limits_{g,t} L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left(\{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L; \ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right)\right) \\ &= \sum\limits_{g,t} u_{g,t}^{(y)} p_g s \beta_{g,m} \biggl\{ \text{HillAdstock}\left(\{1.01 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L; \ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m\right) \\ & \hspace{8em} - \text{HillAdstock}\left(\{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L; \ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \biggr\} \\ &= \sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m}\ , \end{alignat} $$

Aquí el término $M_{g,t,m}$ se define como

$$ \begin{align} M_{g,t,m} = u_{g,t}^{(y)} p_g s \biggl\{ &\text{HillAdstock}\left(\{1.01 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L; \ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right)\\ &- \text{HillAdstock}\left( \{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m\right) \biggr\} \ . \end{align} $$

La relación entre $\beta_{g,m}$ y $\text{MarginalROI}_m$ se obtiene con la siguiente ecuación:

$$ \begin{align*} \sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m} &= \text{MarginalIncrementalOutcome}_m \\ &= \text{MarginalROI}_m \cdot (0.01 \cdot \text{Cost}_m) \\ &= \text{MarginalROI}_m \cdot (0.01 \cdot \sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m}) \ . \end{align*} $$

La ecuación indicada anteriormente para \(\beta_m\) en las distribuciones a priori del ROI sigue siendo válida en las distribuciones a priori del ROI marginal si haces lo siguiente:

1. Usas esta definición alternativa de \(M_{g,t,m}\).
2. Reemplazas \(\text{ROI}_m\) con \(0.01 \cdot \text{MarginalROI}_m\).

Contribución

La relación entre $\beta_{g,m}$ y $\text{Contribution}_m$ se obtiene con la siguiente ecuación:

$$ \begin{align*} \sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m} &= \text{IncrementalOutcome}_m \\ &= \text{Contribution}_m \cdot \text{ObservedOutcome} \\ &= \text{Contribution}_m \cdot \sum\limits_{g,t} \tilde{y}_{g,t} \\ &= \text{Contribution}_m \cdot \sum\limits_{g,t} \tilde{u}^{[Y]}_{g,t} \cdot \ddot{y}_{g,t}\ . \end{align*} $$

Todo lo demás es igual que para las distribuciones a priori del ROI.