Parametrizações de ROI, mROI e contribuição

O Meridian pode ser parametrizado novamente para que o ROI de cada canal seja um parâmetro de modelo. Isso permite incorporar informações de distribuições a priori de ROI, como experimentos de incrementalidade, comparativos de mercado ou outros conhecimentos do domínio. Como alternativa, é possível usar distribuições a priori menos informativas. Com as distribuições a priori de ROI, é possível tratar todos os canais de mídia igualmente. Além disso, elas permitem aplicar uma regularização igual a todos os canais nos casos em que a regularização é necessária para melhorar a convergência do modelo ou alcançar uma boa adequação. Para mais informações sobre esse método de calibragem, consulte Calibragem do modelo de mix de mídia com distribuições a priori bayesianas.

Como alternativa, o Meridian pode ser parametrizado novamente para que o mROI de cada canal seja um parâmetro do modelo. A regularização do mROI para um valor comum em diferentes canais também tem o efeito de regularizar as mudanças de orçamento recomendadas com a otimização de orçamento.

Por fim, o Meridian pode ser parametrizado novamente para que a proporção de contribuição (resultado incremental total dividido pelo resultado total observado) seja um parâmetro de modelo. A única diferença entre as distribuições a priori de contribuição e ROI é o denominador: o denominador da contribuição a priori é o resultado observado total, enquanto o denominador do ROI a priori é o gasto total do canal.

As novas parametrizações do modelo de contribuição, ROI e mROI são derivadas da seguinte forma.

ROI

Para qualquer canal de mídia \(m\), o resultado incremental impulsionado por esse canal é

$$ \begin{align} \text{IncrementalOutcome}_m &= \sum\limits_{g,t} L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left( \{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \right) \\ &\qquad - L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left( \{0 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \right)\\ &= \sum\limits_{g,t} u_{g,t}^{(y)} p_g s \beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left( \{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \\ &= \sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m}\ , \end{align} $$

em que o termo $M_{g,t,m}$ é definido como

$$ M_{g,t,m} =\ u_{g,t}^{(y)} p_g s \text{HillAdstock}\left( \{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \ , $$

e \(s = \sqrt{\frac{1}{GT-1} \sum\limits_{g,t} \left( y^\dagger_{g,t}-m \right)^2}\) é o desvio padrão dos valores de KPI ajustados à população, conforme definido nos Dados de entrada.

A relação entre $\beta_{g,m}$ e $\text{ROI}_m$ considera a seguinte equação:

$$ \begin{align*} \sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m} &= \text{IncrementalOutcome}_m \\ &= \text{ROI}_m \cdot \text{Cost}_m \\ &= \text{ROI}_m \sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m} \ . \end{align*} $$

Agora, $\beta_{g,m}$ pode ser parametrizado novamente como

$$ \begin{align*} \beta_{g,m} &= \begin{cases} \text{exp}(\beta_m + \eta_m Z_{g,m}) &,\ \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{LogNormal} \\ \beta_m + \eta_m Z_{g,m} &,\ \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{Normal} \ , \end{cases} \end{align*} $$

em que \(Z_{g,m}\) tem uma distribuição a priori normal e padrão independente de todos os outros parâmetros do modelo. Substituir essa expressão por \(\beta_{g,m}\) resultados na seguinte equação:

$$ \begin{align*} \beta_m &= \begin{cases} \text{log}\left( \text{ROI}_m\sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m} \right) - \text{log}\left( \sum\limits_{g,t}exp\left( \eta_m Z_{g,m} \right) M_{g,t,m}\right) &, \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{LogNormal} \\ \dfrac{ \text{ROI}_m \sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m} - \eta_m \sum\limits_{g,t}Z_{g,m}M_{g,t,m} }{ \sum\limits_{g,t} M_{g,t,m} } &, \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{Normal} \ . \end{cases} \\ \end{align*} $$

Portanto, $\beta_m$ é uma função de parâmetros aleatórios\((\text{ROI}_m, \alpha_m, \text{slope}_m, ec_m, \{Z_{g,m}\}^G_{g=1})\) e dados\((s, u_{g,t}^{(y)}, \{p_g\}_{g=1}^G, \{x_{g,t,m}\}_{g,t}, \{\tilde{x}_{g,t,m}\}_{g,t})\). Haverá uma correspondência de um para um entre $\beta_m$ e $\text{ROI}_m$ se todos os outros valores forem fixos. Como resultado, o modelo poderá ser parametrizado novamente usando $\text{ROI}_m$ no lugar de $\beta_m$. Alguns pontos importantes:

• Qualquer distribuição a priori especificada pelo usuário pode ser inserida nos parâmetros $\text{ROI}_m$.
• Embora $\beta_m$ não seja mais um parâmetro do modelo, ele ainda pode ser calculado para cada extração a priori ou a posteriori do Monte Carlo via cadeias de Markov (MCMC) porque é uma função dos outros parâmetros.
• Quando media_effects_dist = Normal, $\text{ROI}_m$ pode assumir qualquer valor em \((-\infty, +\infty)\). Quando media_effects_dist = LogNormal, $\text{ROI}_m$ pode assumir qualquer valor em \((0, +\infty)\).

A nova parametrização do modelo em termos de ROI muda apenas a forma como as distribuições a priori são definidas. Quando a parametrização do ROI é usada, a distribuição a priori independente é inserida em\((\text{ROI}_m, \alpha_m, \text{slope}_m, ec_m)\) , e não em \((\beta_m, \alpha_m, \text{slope}_m, ec_m)\). Em ambos os casos, os parâmetros \(\{Z_{g,m}\}^G_{g=1}\)recebem distribuições a priori normais e padrão independentes umas das outras e de todos os outros parâmetros do modelo. A parametrização do ROI induz implicitamente uma distribuição a priori no \(\beta_m\). No entanto, essa distribuição não é mais independente de \((\alpha_m, \text{slope}_m, ec_m, \{Z_{g,m}\}^G_{g=1})\).

Por padrão, o Meridian define o numerador da distribuição a priori de ROI, $IncrementalOutcome_m$, como uma soma de todos os períodos e regiões geográficas. No entanto, ele pode ser definido como uma soma de um subconjunto de períodos usando os argumentos roi_calibration_period e rf_roi_calibration_period. Pode haver casos especiais em que é preferível considerar apenas um subconjunto, por exemplo, ao calibrar a distribuição a priori de ROI com um experimento que abrange um período específico na janela de modelagem da MMM. Para mais informações, consulte a seção 3.4 em Calibragem do modelo de mix de mídia com inferências bayesianas. Na maioria dos casos, recomendamos definir a distribuição a priori em todos os períodos e usar todos os resultados de experimentos disponíveis como um fator de tomada de decisão em uma estratégia mais abrangente, conforme discutido em Calibragem e distribuições a priori de ROI.

Canais com dados de alcance e frequência

A mesma nova parametrização pode ser feita para canais com dados de alcance e frequência definindo

$$ M_{g,t,n} = u_{g,t}^{(y)} p_g s \text{Adstock}\left( \left\{ r_{g,t-\ell,n} \cdot \text{Hill}\left( f_{g,t-\ell,n};\ ec^{(rf)}_n, \text{slope}^{(rf)}_n \right) \right\}^L_{\ell=0}\ ;\ \alpha^{(rf)}_n \right) \ . $$

Todo o restante é igual. Portanto, a derivação não é repetida.

ROI marginal

Como alternativa, uma distribuição a priori pode ser especificada para o ROI marginal em vez do ROI.

$$ \begin{alignat}{2} \text{MarginalIncrementalOutcome}_m &= \sum\limits_{g,t} L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left( \{1.01 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \right) \\ &\quad - \sum\limits_{g,t} L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left(\{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L; \ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right)\right) \\ &= \sum\limits_{g,t} u_{g,t}^{(y)} p_g s \beta_{g,m} \biggl\{ \text{HillAdstock}\left(\{1.01 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L; \ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m\right) \\ & \hspace{8em} - \text{HillAdstock}\left(\{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L; \ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \biggr\} \\ &= \sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m}\ , \end{alignat} $$

em que o termo $M_{g,t,m}$ agora é definido como

$$ \begin{align} M_{g,t,m} = u_{g,t}^{(y)} p_g s \biggl\{ &\text{HillAdstock}\left(\{1.01 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L; \ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right)\\ &- \text{HillAdstock}\left( \{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m\right) \biggr\} \ . \end{align} $$

A relação entre $\beta_{g,m}$ e $\text{MarginalROI}_m$ considera a seguinte equação:

$$ \begin{align*} \sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m} &= \text{MarginalIncrementalOutcome}_m \\ &= \text{MarginalROI}_m \cdot (0.01 \cdot \text{Cost}_m) \\ &= \text{MarginalROI}_m \cdot (0.01 \cdot \sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m}) \ . \end{align*} $$

A equação declarada anteriormente para \(\beta_m\) com as prioridades de ROI ainda será válida com as prioridades de ROI marginais se você fizer o seguinte:

1. Use esta definição alternativa de \(M_{g,t,m}\)e
2. Substitua \(\text{ROI}_m\) por \(0.01 \cdot \text{MarginalROI}_m\).

Contribuição

A relação entre $\beta_{g,m}$ e $\text{Contribution}_m$ considera a seguinte equação:

$$ \begin{align*} \sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m} &= \text{IncrementalOutcome}_m \\ &= \text{Contribution}_m \cdot \text{ObservedOutcome} \\ &= \text{Contribution}_m \cdot \sum\limits_{g,t} \tilde{y}_{g,t} \\ &= \text{Contribution}_m \cdot \sum\limits_{g,t} \tilde{u}^{[Y]}_{g,t} \cdot \ddot{y}_{g,t}\ . \end{align*} $$

O restante é igual às distribuições a priori de ROI.