Liên quan chặt chẽ đến vấn đề luồng tối đa là chi phí tối thiểu (chi phí tối thiểu) vấn đề về dòng chảy, trong đó mỗi cung trong biểu đồ có một đơn vị chi phí vận chuyển trên đó. Vấn đề là tìm một quy trình có tổng chi phí tối thiểu.
Bài toán luồng chi phí tối thiểu cũng có các nút đặc biệt, được gọi là nút cung hay nút cầu các nút tương tự như nguồn và bồn lưu trữ dữ liệu trong vấn đề về lưu lượng tối đa. Nguyên liệu được vận chuyển từ các nút cung ứng đến các nút cầu.
- Tại một nút nguồn, một lượng dương (nguồn cung cấp) được thêm vào luồng. Ví dụ: một nguồn cung cấp có thể đại diện cho quá trình sản xuất tại nút đó.
- Tại một nút nhu cầu, một số tiền âm — nhu cầu — được lấy tách khỏi dòng dữ liệu. Một nhu cầu có thể đại diện cho mức tiêu thụ tại nút đó, đối với ví dụ:
Để thuận tiện, chúng tôi sẽ giả định rằng tất cả các nút, ngoại trừ nút cung hoặc nút cầu, không có nguồn cung (và cầu).
Đối với bài toán luồng chi phí tối thiểu, chúng ta có quy tắc bảo toàn luồng sau đây, trong đó có tính đến nguồn cung cấp và nhu cầu:
Biểu đồ bên dưới cho thấy vấn đề về luồng chi phí tối thiểu. Các cung được gắn nhãn bằng các cặp số: số đầu tiên là sức chứa và số thứ hai là chi phí. Các số trong dấu ngoặc đơn bên cạnh các nút thể hiện lượng cung cấp. Nút 0 là nút nguồn có nguồn cung 20, nút 3 và 4 là nút cầu, với yêu cầu lần lượt là -5 và -15.
Nhập thư viện
Mã sau đây nhập thư viện bắt buộc.
Python
import numpy as np from ortools.graph.python import min_cost_flow
C++
#include <cstdint> #include <vector> #include "ortools/graph/min_cost_flow.h"
Java
import com.google.ortools.Loader; import com.google.ortools.graph.MinCostFlow; import com.google.ortools.graph.MinCostFlowBase;
C#
using System; using Google.OrTools.Graph;
Khai báo trình giải
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sử dụng SimpleMinCostFlow của Google.
Python
# Instantiate a SimpleMinCostFlow solver. smcf = min_cost_flow.SimpleMinCostFlow()
C++
// Instantiate a SimpleMinCostFlow solver. SimpleMinCostFlow min_cost_flow;
Java
// Instantiate a SimpleMinCostFlow solver. MinCostFlow minCostFlow = new MinCostFlow();
C#
// Instantiate a SimpleMinCostFlow solver. MinCostFlow minCostFlow = new MinCostFlow();
Xác định dữ liệu
Đoạn mã sau đây xác định dữ liệu cho sự cố. Trong trường hợp này, có 4 mảng cho nút bắt đầu, nút kết thúc, dung lượng và chi phí đơn vị. Một lần nữa, độ dài của mảng là số cung trong đồ thị.
Python
# Define four parallel arrays: sources, destinations, capacities, # and unit costs between each pair. For instance, the arc from node 0 # to node 1 has a capacity of 15. start_nodes = np.array([0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4]) end_nodes = np.array([1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 4, 2]) capacities = np.array([15, 8, 20, 4, 10, 15, 4, 20, 5]) unit_costs = np.array([4, 4, 2, 2, 6, 1, 3, 2, 3]) # Define an array of supplies at each node. supplies = [20, 0, 0, -5, -15]
C++
// Define four parallel arrays: sources, destinations, capacities, // and unit costs between each pair. For instance, the arc from node 0 // to node 1 has a capacity of 15. std::vector<int64_t> start_nodes = {0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4}; std::vector<int64_t> end_nodes = {1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 4, 2}; std::vector<int64_t> capacities = {15, 8, 20, 4, 10, 15, 4, 20, 5}; std::vector<int64_t> unit_costs = {4, 4, 2, 2, 6, 1, 3, 2, 3}; // Define an array of supplies at each node. std::vector<int64_t> supplies = {20, 0, 0, -5, -15};
Java
// Define four parallel arrays: sources, destinations, capacities, and unit costs // between each pair. For instance, the arc from node 0 to node 1 has a // capacity of 15. // Problem taken From Taha's 'Introduction to Operations Research', // example 6.4-2. int[] startNodes = new int[] {0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4}; int[] endNodes = new int[] {1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 4, 2}; int[] capacities = new int[] {15, 8, 20, 4, 10, 15, 4, 20, 5}; int[] unitCosts = new int[] {4, 4, 2, 2, 6, 1, 3, 2, 3}; // Define an array of supplies at each node. int[] supplies = new int[] {20, 0, 0, -5, -15};
C#
// Define four parallel arrays: sources, destinations, capacities, and unit costs // between each pair. For instance, the arc from node 0 to node 1 has a // capacity of 15. // Problem taken From Taha's 'Introduction to Operations Research', // example 6.4-2. int[] startNodes = { 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4 }; int[] endNodes = { 1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 4, 2 }; int[] capacities = { 15, 8, 20, 4, 10, 15, 4, 20, 5 }; int[] unitCosts = { 4, 4, 2, 2, 6, 1, 3, 2, 3 }; // Define an array of supplies at each node. int[] supplies = { 20, 0, 0, -5, -15 };
Thêm các vòng cung
Đối với mỗi nút bắt đầu và nút kết thúc, chúng ta tạo một vòng cung từ nút bắt đầu đến nút kết thúc với công suất và chi phí đơn vị đã cho, sử dụng phương pháp AddArcWithCapacityAndUnitCost.
Trình giải SetNodeSupply phương thức tạo ra một vectơ cung cấp cho các nút.
Python
# Add arcs, capacities and costs in bulk using numpy. all_arcs = smcf.add_arcs_with_capacity_and_unit_cost( start_nodes, end_nodes, capacities, unit_costs ) # Add supply for each nodes. smcf.set_nodes_supplies(np.arange(0, len(supplies)), supplies)
C++
// Add each arc. for (int i = 0; i < start_nodes.size(); ++i) { int arc = min_cost_flow.AddArcWithCapacityAndUnitCost( start_nodes[i], end_nodes[i], capacities[i], unit_costs[i]); if (arc != i) LOG(FATAL) << "Internal error"; } // Add node supplies. for (int i = 0; i < supplies.size(); ++i) { min_cost_flow.SetNodeSupply(i, supplies[i]); }
Java
// Add each arc. for (int i = 0; i < startNodes.length; ++i) { int arc = minCostFlow.addArcWithCapacityAndUnitCost( startNodes[i], endNodes[i], capacities[i], unitCosts[i]); if (arc != i) { throw new Exception("Internal error"); } } // Add node supplies. for (int i = 0; i < supplies.length; ++i) { minCostFlow.setNodeSupply(i, supplies[i]); }
C#
// Add each arc. for (int i = 0; i < startNodes.Length; ++i) { int arc = minCostFlow.AddArcWithCapacityAndUnitCost(startNodes[i], endNodes[i], capacities[i], unitCosts[i]); if (arc != i) throw new Exception("Internal error"); } // Add node supplies. for (int i = 0; i < supplies.Length; ++i) { minCostFlow.SetNodeSupply(i, supplies[i]); }
Gọi trình giải
Giờ đây, khi tất cả các cung đã được xác định, tất cả những gì còn lại chỉ là gọi
trình giải toán và hiển thị kết quả. Chúng ta gọi phương thức Solve().
Python
# Find the min cost flow. status = smcf.solve()
C++
// Find the min cost flow. int status = min_cost_flow.Solve();
Java
// Find the min cost flow. MinCostFlowBase.Status status = minCostFlow.solve();
C#
// Find the min cost flow. MinCostFlow.Status status = minCostFlow.Solve();
Hiển thị kết quả
Giờ đây, chúng ta có thể hiển thị luồng và chi phí trên mỗi vòng cung.
Python
if status != smcf.OPTIMAL: print("There was an issue with the min cost flow input.") print(f"Status: {status}") exit(1) print(f"Minimum cost: {smcf.optimal_cost()}") print("") print(" Arc Flow / Capacity Cost") solution_flows = smcf.flows(all_arcs) costs = solution_flows * unit_costs for arc, flow, cost in zip(all_arcs, solution_flows, costs): print( f"{smcf.tail(arc):1} -> {smcf.head(arc)} {flow:3} / {smcf.capacity(arc):3} {cost}" )
C++
if (status == MinCostFlow::OPTIMAL) { LOG(INFO) << "Minimum cost flow: " << min_cost_flow.OptimalCost(); LOG(INFO) << ""; LOG(INFO) << " Arc Flow / Capacity Cost"; for (std::size_t i = 0; i < min_cost_flow.NumArcs(); ++i) { int64_t cost = min_cost_flow.Flow(i) * min_cost_flow.UnitCost(i); LOG(INFO) << min_cost_flow.Tail(i) << " -> " << min_cost_flow.Head(i) << " " << min_cost_flow.Flow(i) << " / " << min_cost_flow.Capacity(i) << " " << cost; } } else { LOG(INFO) << "Solving the min cost flow problem failed. Solver status: " << status; }
Java
if (status == MinCostFlow.Status.OPTIMAL) { System.out.println("Minimum cost: " + minCostFlow.getOptimalCost()); System.out.println(); System.out.println(" Edge Flow / Capacity Cost"); for (int i = 0; i < minCostFlow.getNumArcs(); ++i) { long cost = minCostFlow.getFlow(i) * minCostFlow.getUnitCost(i); System.out.println(minCostFlow.getTail(i) + " -> " + minCostFlow.getHead(i) + " " + minCostFlow.getFlow(i) + " / " + minCostFlow.getCapacity(i) + " " + cost); } } else { System.out.println("Solving the min cost flow problem failed."); System.out.println("Solver status: " + status); }
C#
if (status == MinCostFlow.Status.OPTIMAL) { Console.WriteLine("Minimum cost: " + minCostFlow.OptimalCost()); Console.WriteLine(""); Console.WriteLine(" Edge Flow / Capacity Cost"); for (int i = 0; i < minCostFlow.NumArcs(); ++i) { long cost = minCostFlow.Flow(i) * minCostFlow.UnitCost(i); Console.WriteLine(minCostFlow.Tail(i) + " -> " + minCostFlow.Head(i) + " " + string.Format("{0,3}", minCostFlow.Flow(i)) + " / " + string.Format("{0,3}", minCostFlow.Capacity(i)) + " " + string.Format("{0,3}", cost)); } } else { Console.WriteLine("Solving the min cost flow problem failed. Solver status: " + status); }
Sau đây là kết quả của chương trình Python:
Minimum cost: 150 Arc Flow / Capacity Cost 0 -> 1 12 / 15 48 0 -> 2 8 / 8 32 1 -> 2 8 / 20 16 1 -> 3 4 / 4 8 1 -> 4 0 / 10 0 2 -> 3 12 / 15 12 2 -> 4 4 / 4 12 3 -> 4 11 / 20 22 4 -> 2 0 / 5 0
Hoàn tất chương trình
Kết hợp tất cả lại với nhau, sau đây là các chương trình hoàn chỉnh.
Python
"""From Bradley, Hax and Maganti, 'Applied Mathematical Programming', figure 8.1.""" import numpy as np from ortools.graph.python import min_cost_flow def main(): """MinCostFlow simple interface example.""" # Instantiate a SimpleMinCostFlow solver. smcf = min_cost_flow.SimpleMinCostFlow() # Define four parallel arrays: sources, destinations, capacities, # and unit costs between each pair. For instance, the arc from node 0 # to node 1 has a capacity of 15. start_nodes = np.array([0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4]) end_nodes = np.array([1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 4, 2]) capacities = np.array([15, 8, 20, 4, 10, 15, 4, 20, 5]) unit_costs = np.array([4, 4, 2, 2, 6, 1, 3, 2, 3]) # Define an array of supplies at each node. supplies = [20, 0, 0, -5, -15] # Add arcs, capacities and costs in bulk using numpy. all_arcs = smcf.add_arcs_with_capacity_and_unit_cost( start_nodes, end_nodes, capacities, unit_costs ) # Add supply for each nodes. smcf.set_nodes_supplies(np.arange(0, len(supplies)), supplies) # Find the min cost flow. status = smcf.solve() if status != smcf.OPTIMAL: print("There was an issue with the min cost flow input.") print(f"Status: {status}") exit(1) print(f"Minimum cost: {smcf.optimal_cost()}") print("") print(" Arc Flow / Capacity Cost") solution_flows = smcf.flows(all_arcs) costs = solution_flows * unit_costs for arc, flow, cost in zip(all_arcs, solution_flows, costs): print( f"{smcf.tail(arc):1} -> {smcf.head(arc)} {flow:3} / {smcf.capacity(arc):3} {cost}" ) if __name__ == "__main__": main()
C++
// From Bradley, Hax and Maganti, 'Applied Mathematical Programming', figure 8.1 #include <cstdint> #include <vector> #include "ortools/graph/min_cost_flow.h" namespace operations_research { // MinCostFlow simple interface example. void SimpleMinCostFlowProgram() { // Instantiate a SimpleMinCostFlow solver. SimpleMinCostFlow min_cost_flow; // Define four parallel arrays: sources, destinations, capacities, // and unit costs between each pair. For instance, the arc from node 0 // to node 1 has a capacity of 15. std::vector<int64_t> start_nodes = {0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4}; std::vector<int64_t> end_nodes = {1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 4, 2}; std::vector<int64_t> capacities = {15, 8, 20, 4, 10, 15, 4, 20, 5}; std::vector<int64_t> unit_costs = {4, 4, 2, 2, 6, 1, 3, 2, 3}; // Define an array of supplies at each node. std::vector<int64_t> supplies = {20, 0, 0, -5, -15}; // Add each arc. for (int i = 0; i < start_nodes.size(); ++i) { int arc = min_cost_flow.AddArcWithCapacityAndUnitCost( start_nodes[i], end_nodes[i], capacities[i], unit_costs[i]); if (arc != i) LOG(FATAL) << "Internal error"; } // Add node supplies. for (int i = 0; i < supplies.size(); ++i) { min_cost_flow.SetNodeSupply(i, supplies[i]); } // Find the min cost flow. int status = min_cost_flow.Solve(); if (status == MinCostFlow::OPTIMAL) { LOG(INFO) << "Minimum cost flow: " << min_cost_flow.OptimalCost(); LOG(INFO) << ""; LOG(INFO) << " Arc Flow / Capacity Cost"; for (std::size_t i = 0; i < min_cost_flow.NumArcs(); ++i) { int64_t cost = min_cost_flow.Flow(i) * min_cost_flow.UnitCost(i); LOG(INFO) << min_cost_flow.Tail(i) << " -> " << min_cost_flow.Head(i) << " " << min_cost_flow.Flow(i) << " / " << min_cost_flow.Capacity(i) << " " << cost; } } else { LOG(INFO) << "Solving the min cost flow problem failed. Solver status: " << status; } } } // namespace operations_research int main() { operations_research::SimpleMinCostFlowProgram(); return EXIT_SUCCESS; }
Java
// From Bradley, Hax, and Maganti, 'Applied Mathematical Programming', figure 8.1. package com.google.ortools.graph.samples; import com.google.ortools.Loader; import com.google.ortools.graph.MinCostFlow; import com.google.ortools.graph.MinCostFlowBase; /** Minimal MinCostFlow program. */ public class SimpleMinCostFlowProgram { public static void main(String[] args) throws Exception { Loader.loadNativeLibraries(); // Instantiate a SimpleMinCostFlow solver. MinCostFlow minCostFlow = new MinCostFlow(); // Define four parallel arrays: sources, destinations, capacities, and unit costs // between each pair. For instance, the arc from node 0 to node 1 has a // capacity of 15. // Problem taken From Taha's 'Introduction to Operations Research', // example 6.4-2. int[] startNodes = new int[] {0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4}; int[] endNodes = new int[] {1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 4, 2}; int[] capacities = new int[] {15, 8, 20, 4, 10, 15, 4, 20, 5}; int[] unitCosts = new int[] {4, 4, 2, 2, 6, 1, 3, 2, 3}; // Define an array of supplies at each node. int[] supplies = new int[] {20, 0, 0, -5, -15}; // Add each arc. for (int i = 0; i < startNodes.length; ++i) { int arc = minCostFlow.addArcWithCapacityAndUnitCost( startNodes[i], endNodes[i], capacities[i], unitCosts[i]); if (arc != i) { throw new Exception("Internal error"); } } // Add node supplies. for (int i = 0; i < supplies.length; ++i) { minCostFlow.setNodeSupply(i, supplies[i]); } // Find the min cost flow. MinCostFlowBase.Status status = minCostFlow.solve(); if (status == MinCostFlow.Status.OPTIMAL) { System.out.println("Minimum cost: " + minCostFlow.getOptimalCost()); System.out.println(); System.out.println(" Edge Flow / Capacity Cost"); for (int i = 0; i < minCostFlow.getNumArcs(); ++i) { long cost = minCostFlow.getFlow(i) * minCostFlow.getUnitCost(i); System.out.println(minCostFlow.getTail(i) + " -> " + minCostFlow.getHead(i) + " " + minCostFlow.getFlow(i) + " / " + minCostFlow.getCapacity(i) + " " + cost); } } else { System.out.println("Solving the min cost flow problem failed."); System.out.println("Solver status: " + status); } } private SimpleMinCostFlowProgram() {} }
C#
// From Bradley, Hax, and Magnanti, 'Applied Mathematical Programming', figure 8.1. using System; using Google.OrTools.Graph; public class SimpleMinCostFlowProgram { static void Main() { // Instantiate a SimpleMinCostFlow solver. MinCostFlow minCostFlow = new MinCostFlow(); // Define four parallel arrays: sources, destinations, capacities, and unit costs // between each pair. For instance, the arc from node 0 to node 1 has a // capacity of 15. // Problem taken From Taha's 'Introduction to Operations Research', // example 6.4-2. int[] startNodes = { 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4 }; int[] endNodes = { 1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 4, 2 }; int[] capacities = { 15, 8, 20, 4, 10, 15, 4, 20, 5 }; int[] unitCosts = { 4, 4, 2, 2, 6, 1, 3, 2, 3 }; // Define an array of supplies at each node. int[] supplies = { 20, 0, 0, -5, -15 }; // Add each arc. for (int i = 0; i < startNodes.Length; ++i) { int arc = minCostFlow.AddArcWithCapacityAndUnitCost(startNodes[i], endNodes[i], capacities[i], unitCosts[i]); if (arc != i) throw new Exception("Internal error"); } // Add node supplies. for (int i = 0; i < supplies.Length; ++i) { minCostFlow.SetNodeSupply(i, supplies[i]); } // Find the min cost flow. MinCostFlow.Status status = minCostFlow.Solve(); if (status == MinCostFlow.Status.OPTIMAL) { Console.WriteLine("Minimum cost: " + minCostFlow.OptimalCost()); Console.WriteLine(""); Console.WriteLine(" Edge Flow / Capacity Cost"); for (int i = 0; i < minCostFlow.NumArcs(); ++i) { long cost = minCostFlow.Flow(i) * minCostFlow.UnitCost(i); Console.WriteLine(minCostFlow.Tail(i) + " -> " + minCostFlow.Head(i) + " " + string.Format("{0,3}", minCostFlow.Flow(i)) + " / " + string.Format("{0,3}", minCostFlow.Capacity(i)) + " " + string.Format("{0,3}", cost)); } } else { Console.WriteLine("Solving the min cost flow problem failed. Solver status: " + status); } } }