Trang này được dịch bởi Cloud Translation API.

Sử dụng mảng để xác định mô hình

Phần trước đã trình bày cách giải quyết MIP chỉ bằng một vài biến và các quy tắc ràng buộc được xác định riêng. Đối với những vấn đề lớn hơn, thuận tiện cho việc xác định các biến và hạn chế bằng cách lặp lại các mảng. Chiến lược phát hành đĩa đơn ví dụ tiếp theo minh hoạ điều này.

Ví dụ:

Trong ví dụ này, chúng ta sẽ giải quyết vấn đề sau.

Tối đa hoá 7x₁ + 8x₂ + 2x₃ + 9x₄ + 6x₅ phụ thuộc vào những điều kiện ràng buộc sau:

5 x₁ trở lên 7 x₂ trở lên 9 x₃ trở lên 2 x₄ + 1 x₅ &leq; 250
18 x₁ trở lên 4 x₂ – 9 x₃ trở lên 10 x₄ trở lên 12 x₅ &leq; 285
4 x₁ + 7 x₂ trở lên 3 x₃ trở lên 8 x₄ trở lên 5 x₅ &leq; 211
5 x₁ trở lên 13 x₂ trở lên 16 x₃ trở lên 3 x₄ – 7 x₅ &leq; 315

trong đó x₁, x₂, ..., x₅ không âm số nguyên.

Các phần sau đây trình bày những chương trình giải quyết vấn đề này. Chương trình sử dụng cùng các phương thức như ví dụ về MIP trước đó, nhưng trong trường hợp này, hãy áp dụng chúng cho các giá trị mảng trong một vòng lặp.

Khai báo trình giải

Trong bất kỳ chương trình MIP nào, bạn cũng có thể bắt đầu bằng cách nhập trình bao bọc trình giải toán tuyến tính và khai báo trình giải MIP (được trình bày trong ví dụ về MIP trước đó.

Tạo dữ liệu

Mã sau đây tạo các mảng chứa dữ liệu cho ví dụ: hệ số biến số cho các giới hạn và hàm mục tiêu và các giới hạn đối với các quy tắc ràng buộc.

Python

def create_data_model():
    """Stores the data for the problem."""
    data = {}
    data["constraint_coeffs"] = [
        [5, 7, 9, 2, 1],
        [18, 4, -9, 10, 12],
        [4, 7, 3, 8, 5],
        [5, 13, 16, 3, -7],
    ]
    data["bounds"] = [250, 285, 211, 315]
    data["obj_coeffs"] = [7, 8, 2, 9, 6]
    data["num_vars"] = 5
    data["num_constraints"] = 4
    return data

C++

struct DataModel {
  const std::vector<std::vector<double>> constraint_coeffs{
      {5, 7, 9, 2, 1},
      {18, 4, -9, 10, 12},
      {4, 7, 3, 8, 5},
      {5, 13, 16, 3, -7},
  };
  const std::vector<double> bounds{250, 285, 211, 315};
  const std::vector<double> obj_coeffs{7, 8, 2, 9, 6};
  const int num_vars = 5;
  const int num_constraints = 4;
};

Java

static class DataModel {
  public final double[][] constraintCoeffs = {
      {5, 7, 9, 2, 1},
      {18, 4, -9, 10, 12},
      {4, 7, 3, 8, 5},
      {5, 13, 16, 3, -7},
  };
  public final double[] bounds = {250, 285, 211, 315};
  public final double[] objCoeffs = {7, 8, 2, 9, 6};
  public final int numVars = 5;
  public final int numConstraints = 4;
}

C#

class DataModel
{
    public double[,] ConstraintCoeffs = {
        { 5, 7, 9, 2, 1 },
        { 18, 4, -9, 10, 12 },
        { 4, 7, 3, 8, 5 },
        { 5, 13, 16, 3, -7 },
    };
    public double[] Bounds = { 250, 285, 211, 315 };
    public double[] ObjCoeffs = { 7, 8, 2, 9, 6 };
    public int NumVars = 5;
    public int NumConstraints = 4;
}

Tạo thực thể cho dữ liệu

Mã sau đây sẽ tạo thực thể cho mô hình dữ liệu.

Python

data = create_data_model()

C++

DataModel data;

Java

final DataModel data = new DataModel();

C#

DataModel data = new DataModel();

Tạo thực thể cho trình giải

Mã sau đây sẽ tạo thực thể cho trình giải.

Python

# Create the mip solver with the SCIP backend.
solver = pywraplp.Solver.CreateSolver("SCIP")
if not solver:
    return

C++

// Create the mip solver with the SCIP backend.
std::unique_ptr<MPSolver> solver(MPSolver::CreateSolver("SCIP"));
if (!solver) {
  LOG(WARNING) << "SCIP solver unavailable.";
  return;
}

Java

// Create the linear solver with the SCIP backend.
MPSolver solver = MPSolver.createSolver("SCIP");
if (solver == null) {
  System.out.println("Could not create solver SCIP");
  return;
}

C#

// Create the linear solver with the SCIP backend.
Solver solver = Solver.CreateSolver("SCIP");
if (solver is null)
{
    return;
}

Xác định các biến

Mã sau đây định nghĩa các biến cho ví dụ trong một vòng lặp. Cho cỡ lớn bài tập này dễ dàng hơn việc xác định từng biến riêng lẻ, như trong ví dụ trước.

Python

infinity = solver.infinity()
x = {}
for j in range(data["num_vars"]):
    x[j] = solver.IntVar(0, infinity, "x[%i]" % j)
print("Number of variables =", solver.NumVariables())

C++

const double infinity = solver->infinity();
// x[j] is an array of non-negative, integer variables.
std::vector<const MPVariable*> x(data.num_vars);
for (int j = 0; j < data.num_vars; ++j) {
  x[j] = solver->MakeIntVar(0.0, infinity, "");
}
LOG(INFO) << "Number of variables = " << solver->NumVariables();

Java

double infinity = java.lang.Double.POSITIVE_INFINITY;
MPVariable[] x = new MPVariable[data.numVars];
for (int j = 0; j < data.numVars; ++j) {
  x[j] = solver.makeIntVar(0.0, infinity, "");
}
System.out.println("Number of variables = " + solver.numVariables());

C#

Variable[] x = new Variable[data.NumVars];
for (int j = 0; j < data.NumVars; j++)
{
    x[j] = solver.MakeIntVar(0.0, double.PositiveInfinity, $"x_{j}");
}
Console.WriteLine("Number of variables = " + solver.NumVariables());

Xác định các điều kiện ràng buộc

Mã sau đây tạo các quy tắc ràng buộc cho ví dụ bằng cách sử dụng phương thức MakeRowConstraint (hoặc một số biến thể, tuỳ thuộc vào ngôn ngữ lập trình). Chiến lược phát hành đĩa đơn hai đối số đầu tiên của phương thức là giới hạn dưới và giới hạn trên của quy tắc ràng buộc. Đối số thứ ba (tên cho quy tắc ràng buộc) là không bắt buộc.

Đối với mỗi quy tắc ràng buộc, bạn xác định hệ số của các biến bằng cách sử dụng phương thức phương thức SetCoefficient. Phương thức sẽ chỉ định hệ số của biến x[j] trong quy tắc ràng buộc i là mục nhập [i][j] của mảng constraint_coeffs.

Python

for i in range(data["num_constraints"]):
    constraint = solver.RowConstraint(0, data["bounds"][i], "")
    for j in range(data["num_vars"]):
        constraint.SetCoefficient(x[j], data["constraint_coeffs"][i][j])
print("Number of constraints =", solver.NumConstraints())
# In Python, you can also set the constraints as follows.
# for i in range(data['num_constraints']):
#  constraint_expr = \
# [data['constraint_coeffs'][i][j] * x[j] for j in range(data['num_vars'])]
#  solver.Add(sum(constraint_expr) <= data['bounds'][i])

C++

// Create the constraints.
for (int i = 0; i < data.num_constraints; ++i) {
  MPConstraint* constraint = solver->MakeRowConstraint(0, data.bounds[i], "");
  for (int j = 0; j < data.num_vars; ++j) {
    constraint->SetCoefficient(x[j], data.constraint_coeffs[i][j]);
  }
}
LOG(INFO) << "Number of constraints = " << solver->NumConstraints();

Java

// Create the constraints.
for (int i = 0; i < data.numConstraints; ++i) {
  MPConstraint constraint = solver.makeConstraint(0, data.bounds[i], "");
  for (int j = 0; j < data.numVars; ++j) {
    constraint.setCoefficient(x[j], data.constraintCoeffs[i][j]);
  }
}
System.out.println("Number of constraints = " + solver.numConstraints());

C#

for (int i = 0; i < data.NumConstraints; ++i)
{
    Constraint constraint = solver.MakeConstraint(0, data.Bounds[i], "");
    for (int j = 0; j < data.NumVars; ++j)
    {
        constraint.SetCoefficient(x[j], data.ConstraintCoeffs[i, j]);
    }
}
Console.WriteLine("Number of constraints = " + solver.NumConstraints());

Xác định mục tiêu

Trong ví dụ, đoạn mã sau đây định nghĩa hàm mục tiêu. Chiến lược phát hành đĩa đơn Phương thức SetCoefficient chỉ định hệ số cho mục tiêu, trong khi SetMaximization định nghĩa đây là bài toán tối đa hoá.

Python

objective = solver.Objective()
for j in range(data["num_vars"]):
    objective.SetCoefficient(x[j], data["obj_coeffs"][j])
objective.SetMaximization()
# In Python, you can also set the objective as follows.
# obj_expr = [data['obj_coeffs'][j] * x[j] for j in range(data['num_vars'])]
# solver.Maximize(solver.Sum(obj_expr))

C++

// Create the objective function.
MPObjective* const objective = solver->MutableObjective();
for (int j = 0; j < data.num_vars; ++j) {
  objective->SetCoefficient(x[j], data.obj_coeffs[j]);
}
objective->SetMaximization();

Java

MPObjective objective = solver.objective();
for (int j = 0; j < data.numVars; ++j) {
  objective.setCoefficient(x[j], data.objCoeffs[j]);
}
objective.setMaximization();

C#

Objective objective = solver.Objective();
for (int j = 0; j < data.NumVars; ++j)
{
    objective.SetCoefficient(x[j], data.ObjCoeffs[j]);
}
objective.SetMaximization();

Gọi trình giải

Mã sau đây gọi trình giải.

Python

print(f"Solving with {solver.SolverVersion()}")
status = solver.Solve()

C++

const MPSolver::ResultStatus result_status = solver->Solve();

Java

final MPSolver.ResultStatus resultStatus = solver.solve();

C#

Solver.ResultStatus resultStatus = solver.Solve();

Hiển thị giải pháp

Đoạn mã sau đây sẽ cho thấy giải pháp.

Python

if status == pywraplp.Solver.OPTIMAL:
    print("Objective value =", solver.Objective().Value())
    for j in range(data["num_vars"]):
        print(x[j].name(), " = ", x[j].solution_value())
    print()
    print(f"Problem solved in {solver.wall_time():d} milliseconds")
    print(f"Problem solved in {solver.iterations():d} iterations")
    print(f"Problem solved in {solver.nodes():d} branch-and-bound nodes")
else:
    print("The problem does not have an optimal solution.")

C++

// Check that the problem has an optimal solution.
if (result_status != MPSolver::OPTIMAL) {
  LOG(FATAL) << "The problem does not have an optimal solution.";
}
LOG(INFO) << "Solution:";
LOG(INFO) << "Optimal objective value = " << objective->Value();

for (int j = 0; j < data.num_vars; ++j) {
  LOG(INFO) << "x[" << j << "] = " << x[j]->solution_value();
}

Java

// Check that the problem has an optimal solution.
if (resultStatus == MPSolver.ResultStatus.OPTIMAL) {
  System.out.println("Objective value = " + objective.value());
  for (int j = 0; j < data.numVars; ++j) {
    System.out.println("x[" + j + "] = " + x[j].solutionValue());
  }
  System.out.println();
  System.out.println("Problem solved in " + solver.wallTime() + " milliseconds");
  System.out.println("Problem solved in " + solver.iterations() + " iterations");
  System.out.println("Problem solved in " + solver.nodes() + " branch-and-bound nodes");
} else {
  System.err.println("The problem does not have an optimal solution.");
}

C#

// Check that the problem has an optimal solution.
if (resultStatus != Solver.ResultStatus.OPTIMAL)
{
    Console.WriteLine("The problem does not have an optimal solution!");
    return;
}

Console.WriteLine("Solution:");
Console.WriteLine("Optimal objective value = " + solver.Objective().Value());

for (int j = 0; j < data.NumVars; ++j)
{
    Console.WriteLine("x[" + j + "] = " + x[j].SolutionValue());
}

Sau đây là giải pháp cho vấn đề này.

Number of variables = 5
Number of constraints = 4
Objective value = 260.0
x[0]  =  10.0
x[1]  =  16.0
x[2]  =  4.0
x[3]  =  4.0
x[4]  =  3.0

Problem solved in 29.000000 milliseconds
Problem solved in 315 iterations
Problem solved in 13 branch-and-bound nodes

Hoàn tất chương trình

Sau đây là các chương trình hoàn chỉnh.

Python

from ortools.linear_solver import pywraplp


def create_data_model():
    """Stores the data for the problem."""
    data = {}
    data["constraint_coeffs"] = [
        [5, 7, 9, 2, 1],
        [18, 4, -9, 10, 12],
        [4, 7, 3, 8, 5],
        [5, 13, 16, 3, -7],
    ]
    data["bounds"] = [250, 285, 211, 315]
    data["obj_coeffs"] = [7, 8, 2, 9, 6]
    data["num_vars"] = 5
    data["num_constraints"] = 4
    return data



def main():
    data = create_data_model()
    # Create the mip solver with the SCIP backend.
    solver = pywraplp.Solver.CreateSolver("SCIP")
    if not solver:
        return

    infinity = solver.infinity()
    x = {}
    for j in range(data["num_vars"]):
        x[j] = solver.IntVar(0, infinity, "x[%i]" % j)
    print("Number of variables =", solver.NumVariables())

    for i in range(data["num_constraints"]):
        constraint = solver.RowConstraint(0, data["bounds"][i], "")
        for j in range(data["num_vars"]):
            constraint.SetCoefficient(x[j], data["constraint_coeffs"][i][j])
    print("Number of constraints =", solver.NumConstraints())
    # In Python, you can also set the constraints as follows.
    # for i in range(data['num_constraints']):
    #  constraint_expr = \
    # [data['constraint_coeffs'][i][j] * x[j] for j in range(data['num_vars'])]
    #  solver.Add(sum(constraint_expr) <= data['bounds'][i])

    objective = solver.Objective()
    for j in range(data["num_vars"]):
        objective.SetCoefficient(x[j], data["obj_coeffs"][j])
    objective.SetMaximization()
    # In Python, you can also set the objective as follows.
    # obj_expr = [data['obj_coeffs'][j] * x[j] for j in range(data['num_vars'])]
    # solver.Maximize(solver.Sum(obj_expr))

    print(f"Solving with {solver.SolverVersion()}")
    status = solver.Solve()

    if status == pywraplp.Solver.OPTIMAL:
        print("Objective value =", solver.Objective().Value())
        for j in range(data["num_vars"]):
            print(x[j].name(), " = ", x[j].solution_value())
        print()
        print(f"Problem solved in {solver.wall_time():d} milliseconds")
        print(f"Problem solved in {solver.iterations():d} iterations")
        print(f"Problem solved in {solver.nodes():d} branch-and-bound nodes")
    else:
        print("The problem does not have an optimal solution.")


if __name__ == "__main__":
    main()

C++

#include <memory>
#include <vector>

#include "ortools/linear_solver/linear_solver.h"

namespace operations_research {
struct DataModel {
  const std::vector<std::vector<double>> constraint_coeffs{
      {5, 7, 9, 2, 1},
      {18, 4, -9, 10, 12},
      {4, 7, 3, 8, 5},
      {5, 13, 16, 3, -7},
  };
  const std::vector<double> bounds{250, 285, 211, 315};
  const std::vector<double> obj_coeffs{7, 8, 2, 9, 6};
  const int num_vars = 5;
  const int num_constraints = 4;
};

void MipVarArray() {
  DataModel data;

  // Create the mip solver with the SCIP backend.
  std::unique_ptr<MPSolver> solver(MPSolver::CreateSolver("SCIP"));
  if (!solver) {
    LOG(WARNING) << "SCIP solver unavailable.";
    return;
  }

  const double infinity = solver->infinity();
  // x[j] is an array of non-negative, integer variables.
  std::vector<const MPVariable*> x(data.num_vars);
  for (int j = 0; j < data.num_vars; ++j) {
    x[j] = solver->MakeIntVar(0.0, infinity, "");
  }
  LOG(INFO) << "Number of variables = " << solver->NumVariables();

  // Create the constraints.
  for (int i = 0; i < data.num_constraints; ++i) {
    MPConstraint* constraint = solver->MakeRowConstraint(0, data.bounds[i], "");
    for (int j = 0; j < data.num_vars; ++j) {
      constraint->SetCoefficient(x[j], data.constraint_coeffs[i][j]);
    }
  }
  LOG(INFO) << "Number of constraints = " << solver->NumConstraints();

  // Create the objective function.
  MPObjective* const objective = solver->MutableObjective();
  for (int j = 0; j < data.num_vars; ++j) {
    objective->SetCoefficient(x[j], data.obj_coeffs[j]);
  }
  objective->SetMaximization();

  const MPSolver::ResultStatus result_status = solver->Solve();

  // Check that the problem has an optimal solution.
  if (result_status != MPSolver::OPTIMAL) {
    LOG(FATAL) << "The problem does not have an optimal solution.";
  }
  LOG(INFO) << "Solution:";
  LOG(INFO) << "Optimal objective value = " << objective->Value();

  for (int j = 0; j < data.num_vars; ++j) {
    LOG(INFO) << "x[" << j << "] = " << x[j]->solution_value();
  }
}
}  // namespace operations_research

int main(int argc, char** argv) {
  operations_research::MipVarArray();
  return EXIT_SUCCESS;
}

Java

package com.google.ortools.linearsolver.samples;
import com.google.ortools.Loader;
import com.google.ortools.linearsolver.MPConstraint;
import com.google.ortools.linearsolver.MPObjective;
import com.google.ortools.linearsolver.MPSolver;
import com.google.ortools.linearsolver.MPVariable;

/** MIP example with a variable array. */
public class MipVarArray {
  static class DataModel {
    public final double[][] constraintCoeffs = {
        {5, 7, 9, 2, 1},
        {18, 4, -9, 10, 12},
        {4, 7, 3, 8, 5},
        {5, 13, 16, 3, -7},
    };
    public final double[] bounds = {250, 285, 211, 315};
    public final double[] objCoeffs = {7, 8, 2, 9, 6};
    public final int numVars = 5;
    public final int numConstraints = 4;
  }

  public static void main(String[] args) throws Exception {
    Loader.loadNativeLibraries();
    final DataModel data = new DataModel();

    // Create the linear solver with the SCIP backend.
    MPSolver solver = MPSolver.createSolver("SCIP");
    if (solver == null) {
      System.out.println("Could not create solver SCIP");
      return;
    }

    double infinity = java.lang.Double.POSITIVE_INFINITY;
    MPVariable[] x = new MPVariable[data.numVars];
    for (int j = 0; j < data.numVars; ++j) {
      x[j] = solver.makeIntVar(0.0, infinity, "");
    }
    System.out.println("Number of variables = " + solver.numVariables());

    // Create the constraints.
    for (int i = 0; i < data.numConstraints; ++i) {
      MPConstraint constraint = solver.makeConstraint(0, data.bounds[i], "");
      for (int j = 0; j < data.numVars; ++j) {
        constraint.setCoefficient(x[j], data.constraintCoeffs[i][j]);
      }
    }
    System.out.println("Number of constraints = " + solver.numConstraints());

    MPObjective objective = solver.objective();
    for (int j = 0; j < data.numVars; ++j) {
      objective.setCoefficient(x[j], data.objCoeffs[j]);
    }
    objective.setMaximization();

    final MPSolver.ResultStatus resultStatus = solver.solve();

    // Check that the problem has an optimal solution.
    if (resultStatus == MPSolver.ResultStatus.OPTIMAL) {
      System.out.println("Objective value = " + objective.value());
      for (int j = 0; j < data.numVars; ++j) {
        System.out.println("x[" + j + "] = " + x[j].solutionValue());
      }
      System.out.println();
      System.out.println("Problem solved in " + solver.wallTime() + " milliseconds");
      System.out.println("Problem solved in " + solver.iterations() + " iterations");
      System.out.println("Problem solved in " + solver.nodes() + " branch-and-bound nodes");
    } else {
      System.err.println("The problem does not have an optimal solution.");
    }
  }

  private MipVarArray() {}
}

C#

using System;
using Google.OrTools.LinearSolver;

public class MipVarArray
{
    class DataModel
    {
        public double[,] ConstraintCoeffs = {
            { 5, 7, 9, 2, 1 },
            { 18, 4, -9, 10, 12 },
            { 4, 7, 3, 8, 5 },
            { 5, 13, 16, 3, -7 },
        };
        public double[] Bounds = { 250, 285, 211, 315 };
        public double[] ObjCoeffs = { 7, 8, 2, 9, 6 };
        public int NumVars = 5;
        public int NumConstraints = 4;
    }
    public static void Main()
    {
        DataModel data = new DataModel();

        // Create the linear solver with the SCIP backend.
        Solver solver = Solver.CreateSolver("SCIP");
        if (solver is null)
        {
            return;
        }

        Variable[] x = new Variable[data.NumVars];
        for (int j = 0; j < data.NumVars; j++)
        {
            x[j] = solver.MakeIntVar(0.0, double.PositiveInfinity, $"x_{j}");
        }
        Console.WriteLine("Number of variables = " + solver.NumVariables());

        for (int i = 0; i < data.NumConstraints; ++i)
        {
            Constraint constraint = solver.MakeConstraint(0, data.Bounds[i], "");
            for (int j = 0; j < data.NumVars; ++j)
            {
                constraint.SetCoefficient(x[j], data.ConstraintCoeffs[i, j]);
            }
        }
        Console.WriteLine("Number of constraints = " + solver.NumConstraints());

        Objective objective = solver.Objective();
        for (int j = 0; j < data.NumVars; ++j)
        {
            objective.SetCoefficient(x[j], data.ObjCoeffs[j]);
        }
        objective.SetMaximization();

        Solver.ResultStatus resultStatus = solver.Solve();

        // Check that the problem has an optimal solution.
        if (resultStatus != Solver.ResultStatus.OPTIMAL)
        {
            Console.WriteLine("The problem does not have an optimal solution!");
            return;
        }

        Console.WriteLine("Solution:");
        Console.WriteLine("Optimal objective value = " + solver.Objective().Value());

        for (int j = 0; j < data.NumVars; ++j)
        {
            Console.WriteLine("x[" + j + "] = " + x[j].SolutionValue());
        }

        Console.WriteLine("\nAdvanced usage:");
        Console.WriteLine("Problem solved in " + solver.WallTime() + " milliseconds");
        Console.WriteLine("Problem solved in " + solver.Iterations() + " iterations");
        Console.WriteLine("Problem solved in " + solver.Nodes() + " branch-and-bound nodes");
    }
}