विंडोज़ में समय तय करने के दौरान, वाहन के रूट में समस्या आ रही है

वाहन के रूट में आने वाली कई समस्याओं में, ऐसे ग्राहकों के लिए विज़िट शेड्यूल करना शामिल है, जो सिर्फ़ खास टाइम विंडो के दौरान उपलब्ध होते हैं.

इन समस्याओं को टाइम विंडो के साथ वाहन के रूट में आने वाली समस्याएं (वीआरपीटीडब्ल्यू) कहा जाता है.

VRPTW उदाहरण

इस पेज पर हम एक उदाहरण बताएंगे, जिसमें वीआरपीटीडब्ल्यू को सुलझाने का तरीका बताया गया है. क्योंकि समस्या में टाइम विंडो शामिल हैं, इसलिए डेटा में टाइम मैट्रिक्स शामिल होता है, जिसमें जगहों के बीच यात्रा में लगने वाला समय (पिछले उदाहरण की तरह दूरी के मैट्रिक्स के बजाय) होता है.

नीचे दिए गए डायग्राम में, विज़िट की जाने वाली जगहों को नीले रंग में और डिपो को काले रंग में दिखाया गया है. टाइम विंडो, हर जगह के ऊपर दिखती हैं. जगहों को किस तरह तय किया जाता है, इस बारे में ज़्यादा जानने के लिए वीआरपी सेक्शन में जगह के निर्देशांक देखें.

इसका मकसद, वाहनों से यात्रा में लगने वाले कुल समय को कम करना है.

OR-टूल की मदद से, वीआरपीटीडब्ल्यू के उदाहरण को हल करना

नीचे दिए सेक्शन में, OR-टूल की मदद से वीआरपीटीडब्ल्यू के उदाहरण को हल करने का तरीका बताया गया है.

डेटा बनाना

नीचे दिया गया फ़ंक्शन, समस्या के लिए डेटा बनाता है.

Python

def create_data_model():
    """Stores the data for the problem."""
    data = {}
    data["time_matrix"] = [
        [0, 6, 9, 8, 7, 3, 6, 2, 3, 2, 6, 6, 4, 4, 5, 9, 7],
        [6, 0, 8, 3, 2, 6, 8, 4, 8, 8, 13, 7, 5, 8, 12, 10, 14],
        [9, 8, 0, 11, 10, 6, 3, 9, 5, 8, 4, 15, 14, 13, 9, 18, 9],
        [8, 3, 11, 0, 1, 7, 10, 6, 10, 10, 14, 6, 7, 9, 14, 6, 16],
        [7, 2, 10, 1, 0, 6, 9, 4, 8, 9, 13, 4, 6, 8, 12, 8, 14],
        [3, 6, 6, 7, 6, 0, 2, 3, 2, 2, 7, 9, 7, 7, 6, 12, 8],
        [6, 8, 3, 10, 9, 2, 0, 6, 2, 5, 4, 12, 10, 10, 6, 15, 5],
        [2, 4, 9, 6, 4, 3, 6, 0, 4, 4, 8, 5, 4, 3, 7, 8, 10],
        [3, 8, 5, 10, 8, 2, 2, 4, 0, 3, 4, 9, 8, 7, 3, 13, 6],
        [2, 8, 8, 10, 9, 2, 5, 4, 3, 0, 4, 6, 5, 4, 3, 9, 5],
        [6, 13, 4, 14, 13, 7, 4, 8, 4, 4, 0, 10, 9, 8, 4, 13, 4],
        [6, 7, 15, 6, 4, 9, 12, 5, 9, 6, 10, 0, 1, 3, 7, 3, 10],
        [4, 5, 14, 7, 6, 7, 10, 4, 8, 5, 9, 1, 0, 2, 6, 4, 8],
        [4, 8, 13, 9, 8, 7, 10, 3, 7, 4, 8, 3, 2, 0, 4, 5, 6],
        [5, 12, 9, 14, 12, 6, 6, 7, 3, 3, 4, 7, 6, 4, 0, 9, 2],
        [9, 10, 18, 6, 8, 12, 15, 8, 13, 9, 13, 3, 4, 5, 9, 0, 9],
        [7, 14, 9, 16, 14, 8, 5, 10, 6, 5, 4, 10, 8, 6, 2, 9, 0],
    ]
    data["time_windows"] = [
        (0, 5),  # depot
        (7, 12),  # 1
        (10, 15),  # 2
        (16, 18),  # 3
        (10, 13),  # 4
        (0, 5),  # 5
        (5, 10),  # 6
        (0, 4),  # 7
        (5, 10),  # 8
        (0, 3),  # 9
        (10, 16),  # 10
        (10, 15),  # 11
        (0, 5),  # 12
        (5, 10),  # 13
        (7, 8),  # 14
        (10, 15),  # 15
        (11, 15),  # 16
    ]
    data["num_vehicles"] = 4
    data["depot"] = 0
    return data
इस डेटा में ये शामिल हैं:
  • data['time_matrix']: जगहों के बीच यात्रा में लगने वाले समय की जानकारी. ध्यान दें कि यह दूरी के मैट्रिक्स का इस्तेमाल करने वाले पिछले उदाहरणों से अलग है. अगर सभी वाहन एक ही रफ़्तार से यात्रा करते हैं, तो दूरी के मैट्रिक्स या टाइम मैट्रिक्स का इस्तेमाल करने पर, आपको एक ही हल मिलेगा. ऐसा इसलिए होता है, क्योंकि यात्रा में लगने वाले समय की संख्या, एक ही जगह पर तय होती है.
  • data['time_windows']: जगहों के लिए टाइम विंडो का कलेक्शन, जिसे किसी विज़िट के लिए अनुरोध किए गए समय के तौर पर माना जा सकता है. वाहनों को किसी जगह पर तय समय की अवधि के दौरान ही जाना चाहिए.
  • data['num_vehicles']: वाहन के सभी वाहन की संख्या.
  • data['depot']: डिपो का इंडेक्स.

C++

struct DataModel {
  const std::vector<std::vector<int64_t>> time_matrix{
      {0, 6, 9, 8, 7, 3, 6, 2, 3, 2, 6, 6, 4, 4, 5, 9, 7},
      {6, 0, 8, 3, 2, 6, 8, 4, 8, 8, 13, 7, 5, 8, 12, 10, 14},
      {9, 8, 0, 11, 10, 6, 3, 9, 5, 8, 4, 15, 14, 13, 9, 18, 9},
      {8, 3, 11, 0, 1, 7, 10, 6, 10, 10, 14, 6, 7, 9, 14, 6, 16},
      {7, 2, 10, 1, 0, 6, 9, 4, 8, 9, 13, 4, 6, 8, 12, 8, 14},
      {3, 6, 6, 7, 6, 0, 2, 3, 2, 2, 7, 9, 7, 7, 6, 12, 8},
      {6, 8, 3, 10, 9, 2, 0, 6, 2, 5, 4, 12, 10, 10, 6, 15, 5},
      {2, 4, 9, 6, 4, 3, 6, 0, 4, 4, 8, 5, 4, 3, 7, 8, 10},
      {3, 8, 5, 10, 8, 2, 2, 4, 0, 3, 4, 9, 8, 7, 3, 13, 6},
      {2, 8, 8, 10, 9, 2, 5, 4, 3, 0, 4, 6, 5, 4, 3, 9, 5},
      {6, 13, 4, 14, 13, 7, 4, 8, 4, 4, 0, 10, 9, 8, 4, 13, 4},
      {6, 7, 15, 6, 4, 9, 12, 5, 9, 6, 10, 0, 1, 3, 7, 3, 10},
      {4, 5, 14, 7, 6, 7, 10, 4, 8, 5, 9, 1, 0, 2, 6, 4, 8},
      {4, 8, 13, 9, 8, 7, 10, 3, 7, 4, 8, 3, 2, 0, 4, 5, 6},
      {5, 12, 9, 14, 12, 6, 6, 7, 3, 3, 4, 7, 6, 4, 0, 9, 2},
      {9, 10, 18, 6, 8, 12, 15, 8, 13, 9, 13, 3, 4, 5, 9, 0, 9},
      {7, 14, 9, 16, 14, 8, 5, 10, 6, 5, 4, 10, 8, 6, 2, 9, 0},
  };
  const std::vector<std::pair<int64_t, int64_t>> time_windows{
      {0, 5},    // depot
      {7, 12},   // 1
      {10, 15},  // 2
      {16, 18},  // 3
      {10, 13},  // 4
      {0, 5},    // 5
      {5, 10},   // 6
      {0, 4},    // 7
      {5, 10},   // 8
      {0, 3},    // 9
      {10, 16},  // 10
      {10, 15},  // 11
      {0, 5},    // 12
      {5, 10},   // 13
      {7, 8},    // 14
      {10, 15},  // 15
      {11, 15},  // 16
  };
  const int num_vehicles = 4;
  const RoutingIndexManager::NodeIndex depot{0};
};
इस डेटा में ये शामिल हैं:
  • time_matrix: जगहों के बीच यात्रा में लगने वाले समय की जानकारी. ध्यान दें कि यह दूरी के मैट्रिक्स का इस्तेमाल करने वाले पिछले उदाहरणों से अलग है. अगर सभी वाहन एक ही रफ़्तार से यात्रा करते हैं, तो दूरी के मैट्रिक्स या टाइम मैट्रिक्स का इस्तेमाल करने पर, आपको एक ही हल मिलेगा. ऐसा इसलिए होता है, क्योंकि यात्रा में लगने वाले समय की संख्या, एक ही जगह पर तय होती है.
  • time_windows: जगहों के लिए टाइम विंडो का कलेक्शन, जिसे किसी विज़िट के लिए अनुरोध किए गए समय के तौर पर माना जा सकता है. वाहनों को किसी जगह पर तय समय की अवधि के दौरान ही जाना चाहिए.
  • num_vehicles: वाहन के सभी वाहन की संख्या.
  • depot: डिपो का इंडेक्स.

Java

static class DataModel {
  public final long[][] timeMatrix = {
      {0, 6, 9, 8, 7, 3, 6, 2, 3, 2, 6, 6, 4, 4, 5, 9, 7},
      {6, 0, 8, 3, 2, 6, 8, 4, 8, 8, 13, 7, 5, 8, 12, 10, 14},
      {9, 8, 0, 11, 10, 6, 3, 9, 5, 8, 4, 15, 14, 13, 9, 18, 9},
      {8, 3, 11, 0, 1, 7, 10, 6, 10, 10, 14, 6, 7, 9, 14, 6, 16},
      {7, 2, 10, 1, 0, 6, 9, 4, 8, 9, 13, 4, 6, 8, 12, 8, 14},
      {3, 6, 6, 7, 6, 0, 2, 3, 2, 2, 7, 9, 7, 7, 6, 12, 8},
      {6, 8, 3, 10, 9, 2, 0, 6, 2, 5, 4, 12, 10, 10, 6, 15, 5},
      {2, 4, 9, 6, 4, 3, 6, 0, 4, 4, 8, 5, 4, 3, 7, 8, 10},
      {3, 8, 5, 10, 8, 2, 2, 4, 0, 3, 4, 9, 8, 7, 3, 13, 6},
      {2, 8, 8, 10, 9, 2, 5, 4, 3, 0, 4, 6, 5, 4, 3, 9, 5},
      {6, 13, 4, 14, 13, 7, 4, 8, 4, 4, 0, 10, 9, 8, 4, 13, 4},
      {6, 7, 15, 6, 4, 9, 12, 5, 9, 6, 10, 0, 1, 3, 7, 3, 10},
      {4, 5, 14, 7, 6, 7, 10, 4, 8, 5, 9, 1, 0, 2, 6, 4, 8},
      {4, 8, 13, 9, 8, 7, 10, 3, 7, 4, 8, 3, 2, 0, 4, 5, 6},
      {5, 12, 9, 14, 12, 6, 6, 7, 3, 3, 4, 7, 6, 4, 0, 9, 2},
      {9, 10, 18, 6, 8, 12, 15, 8, 13, 9, 13, 3, 4, 5, 9, 0, 9},
      {7, 14, 9, 16, 14, 8, 5, 10, 6, 5, 4, 10, 8, 6, 2, 9, 0},
  };
  public final long[][] timeWindows = {
      {0, 5}, // depot
      {7, 12}, // 1
      {10, 15}, // 2
      {16, 18}, // 3
      {10, 13}, // 4
      {0, 5}, // 5
      {5, 10}, // 6
      {0, 4}, // 7
      {5, 10}, // 8
      {0, 3}, // 9
      {10, 16}, // 10
      {10, 15}, // 11
      {0, 5}, // 12
      {5, 10}, // 13
      {7, 8}, // 14
      {10, 15}, // 15
      {11, 15}, // 16
  };
  public final int vehicleNumber = 4;
  public final int depot = 0;
}
इस डेटा में ये शामिल हैं:
  • timeMatrix: जगहों के बीच यात्रा में लगने वाले समय की जानकारी. ध्यान दें कि यह दूरी के मैट्रिक्स का इस्तेमाल करने वाले पिछले उदाहरणों से अलग है. अगर सभी वाहन एक ही रफ़्तार से यात्रा करते हैं, तो दूरी के मैट्रिक्स या टाइम मैट्रिक्स का इस्तेमाल करने पर, आपको एक ही हल मिलेगा. ऐसा इसलिए होता है, क्योंकि यात्रा में लगने वाले समय की संख्या, एक ही जगह पर तय होती है.
  • timeWindows: जगहों के लिए टाइम विंडो का कलेक्शन, जिसे किसी विज़िट के लिए अनुरोध किए गए समय के तौर पर माना जा सकता है. वाहनों को किसी जगह पर तय समय की अवधि के दौरान ही जाना चाहिए.
  • vehicleNumber: वाहन के सभी वाहन की संख्या.
  • depot: डिपो का इंडेक्स.

C#

class DataModel
{
    public long[,] TimeMatrix = {
        { 0, 6, 9, 8, 7, 3, 6, 2, 3, 2, 6, 6, 4, 4, 5, 9, 7 },
        { 6, 0, 8, 3, 2, 6, 8, 4, 8, 8, 13, 7, 5, 8, 12, 10, 14 },
        { 9, 8, 0, 11, 10, 6, 3, 9, 5, 8, 4, 15, 14, 13, 9, 18, 9 },
        { 8, 3, 11, 0, 1, 7, 10, 6, 10, 10, 14, 6, 7, 9, 14, 6, 16 },
        { 7, 2, 10, 1, 0, 6, 9, 4, 8, 9, 13, 4, 6, 8, 12, 8, 14 },
        { 3, 6, 6, 7, 6, 0, 2, 3, 2, 2, 7, 9, 7, 7, 6, 12, 8 },
        { 6, 8, 3, 10, 9, 2, 0, 6, 2, 5, 4, 12, 10, 10, 6, 15, 5 },
        { 2, 4, 9, 6, 4, 3, 6, 0, 4, 4, 8, 5, 4, 3, 7, 8, 10 },
        { 3, 8, 5, 10, 8, 2, 2, 4, 0, 3, 4, 9, 8, 7, 3, 13, 6 },
        { 2, 8, 8, 10, 9, 2, 5, 4, 3, 0, 4, 6, 5, 4, 3, 9, 5 },
        { 6, 13, 4, 14, 13, 7, 4, 8, 4, 4, 0, 10, 9, 8, 4, 13, 4 },
        { 6, 7, 15, 6, 4, 9, 12, 5, 9, 6, 10, 0, 1, 3, 7, 3, 10 },
        { 4, 5, 14, 7, 6, 7, 10, 4, 8, 5, 9, 1, 0, 2, 6, 4, 8 },
        { 4, 8, 13, 9, 8, 7, 10, 3, 7, 4, 8, 3, 2, 0, 4, 5, 6 },
        { 5, 12, 9, 14, 12, 6, 6, 7, 3, 3, 4, 7, 6, 4, 0, 9, 2 },
        { 9, 10, 18, 6, 8, 12, 15, 8, 13, 9, 13, 3, 4, 5, 9, 0, 9 },
        { 7, 14, 9, 16, 14, 8, 5, 10, 6, 5, 4, 10, 8, 6, 2, 9, 0 },
    };
    public long[,] TimeWindows = {
        { 0, 5 },   // depot
        { 7, 12 },  // 1
        { 10, 15 }, // 2
        { 16, 18 }, // 3
        { 10, 13 }, // 4
        { 0, 5 },   // 5
        { 5, 10 },  // 6
        { 0, 4 },   // 7
        { 5, 10 },  // 8
        { 0, 3 },   // 9
        { 10, 16 }, // 10
        { 10, 15 }, // 11
        { 0, 5 },   // 12
        { 5, 10 },  // 13
        { 7, 8 },   // 14
        { 10, 15 }, // 15
        { 11, 15 }, // 16
    };
    public int VehicleNumber = 4;
    public int Depot = 0;
};
इस डेटा में ये शामिल हैं:
  • TimeMatrix: जगहों के बीच यात्रा में लगने वाले समय की जानकारी. ध्यान दें कि यह दूरी के मैट्रिक्स का इस्तेमाल करने वाले पिछले उदाहरणों से अलग है. अगर सभी वाहन एक ही रफ़्तार से यात्रा करते हैं, तो दूरी के मैट्रिक्स या टाइम मैट्रिक्स का इस्तेमाल करने पर, आपको एक ही हल मिलेगा. ऐसा इसलिए होता है, क्योंकि यात्रा में लगने वाले समय की संख्या, एक ही जगह पर तय होती है.
  • TimeWindows: जगहों के लिए टाइम विंडो का कलेक्शन, जिसे किसी विज़िट के लिए अनुरोध किए गए समय के तौर पर माना जा सकता है. वाहनों को किसी जगह पर तय समय की अवधि के दौरान ही जाना चाहिए.
  • VehicleNumber: वाहन के सभी वाहन की संख्या.
  • Depot: डिपो का इंडेक्स.

समय कॉलबैक

यहां दिया गया फ़ंक्शन, टाइम कॉलबैक बनाता है और उसे सॉल्वर को पास करता है. यह, चाप की लागत को भी सेट करती है, जो जगहों के बीच यात्रा में लगने वाले समय के लिए यात्रा की लागत बताती है.

Python

def time_callback(from_index, to_index):
    """Returns the travel time between the two nodes."""
    # Convert from routing variable Index to time matrix NodeIndex.
    from_node = manager.IndexToNode(from_index)
    to_node = manager.IndexToNode(to_index)
    return data["time_matrix"][from_node][to_node]

transit_callback_index = routing.RegisterTransitCallback(time_callback)
routing.SetArcCostEvaluatorOfAllVehicles(transit_callback_index)

C++

const int transit_callback_index = routing.RegisterTransitCallback(
    [&data, &manager](const int64_t from_index,
                      const int64_t to_index) -> int64_t {
      // Convert from routing variable Index to time matrix NodeIndex.
      const int from_node = manager.IndexToNode(from_index).value();
      const int to_node = manager.IndexToNode(to_index).value();
      return data.time_matrix[from_node][to_node];
    });
routing.SetArcCostEvaluatorOfAllVehicles(transit_callback_index);

Java

final int transitCallbackIndex =
    routing.registerTransitCallback((long fromIndex, long toIndex) -> {
      // Convert from routing variable Index to user NodeIndex.
      int fromNode = manager.indexToNode(fromIndex);
      int toNode = manager.indexToNode(toIndex);
      return data.timeMatrix[fromNode][toNode];
    });
routing.setArcCostEvaluatorOfAllVehicles(transitCallbackIndex);

C#

int transitCallbackIndex = routing.RegisterTransitCallback((long fromIndex, long toIndex) =>
                                                           {
                                                               // Convert from routing variable Index to time
                                                               // matrix NodeIndex.
                                                               var fromNode = manager.IndexToNode(fromIndex);
                                                               var toNode = manager.IndexToNode(toIndex);
                                                               return data.TimeMatrix[fromNode, toNode];
                                                           });
routing.SetArcCostEvaluatorOfAllVehicles(transitCallbackIndex);

टाइम विंडो की सीमाएं जोड़ें

नीचे दिया गया कोड, सभी जगहों के लिए टाइम विंडो की पाबंदियां जोड़ता है.

Python

time = "Time"
routing.AddDimension(
    transit_callback_index,
    30,  # allow waiting time
    30,  # maximum time per vehicle
    False,  # Don't force start cumul to zero.
    time,
)
time_dimension = routing.GetDimensionOrDie(time)
# Add time window constraints for each location except depot.
for location_idx, time_window in enumerate(data["time_windows"]):
    if location_idx == data["depot"]:
        continue
    index = manager.NodeToIndex(location_idx)
    time_dimension.CumulVar(index).SetRange(time_window[0], time_window[1])
# Add time window constraints for each vehicle start node.
depot_idx = data["depot"]
for vehicle_id in range(data["num_vehicles"]):
    index = routing.Start(vehicle_id)
    time_dimension.CumulVar(index).SetRange(
        data["time_windows"][depot_idx][0], data["time_windows"][depot_idx][1]
    )
for i in range(data["num_vehicles"]):
    routing.AddVariableMinimizedByFinalizer(
        time_dimension.CumulVar(routing.Start(i))
    )
    routing.AddVariableMinimizedByFinalizer(time_dimension.CumulVar(routing.End(i)))

C++

const std::string time = "Time";
routing.AddDimension(transit_callback_index,  // transit callback index
                     int64_t{30},             // allow waiting time
                     int64_t{30},             // maximum time per vehicle
                     false,  // Don't force start cumul to zero
                     time);
const RoutingDimension& time_dimension = routing.GetDimensionOrDie(time);
// Add time window constraints for each location except depot.
for (int i = 1; i < data.time_windows.size(); ++i) {
  const int64_t index =
      manager.NodeToIndex(RoutingIndexManager::NodeIndex(i));
  time_dimension.CumulVar(index)->SetRange(data.time_windows[i].first,
                                           data.time_windows[i].second);
}
// Add time window constraints for each vehicle start node.
for (int i = 0; i < data.num_vehicles; ++i) {
  const int64_t index = routing.Start(i);
  time_dimension.CumulVar(index)->SetRange(data.time_windows[0].first,
                                           data.time_windows[0].second);
}
for (int i = 0; i < data.num_vehicles; ++i) {
  routing.AddVariableMinimizedByFinalizer(
      time_dimension.CumulVar(routing.Start(i)));
  routing.AddVariableMinimizedByFinalizer(
      time_dimension.CumulVar(routing.End(i)));
}

Java

routing.addDimension(transitCallbackIndex, // transit callback
    30, // allow waiting time
    30, // vehicle maximum capacities
    false, // start cumul to zero
    "Time");
RoutingDimension timeDimension = routing.getMutableDimension("Time");
// Add time window constraints for each location except depot.
for (int i = 1; i < data.timeWindows.length; ++i) {
  long index = manager.nodeToIndex(i);
  timeDimension.cumulVar(index).setRange(data.timeWindows[i][0], data.timeWindows[i][1]);
}
// Add time window constraints for each vehicle start node.
for (int i = 0; i < data.vehicleNumber; ++i) {
  long index = routing.start(i);
  timeDimension.cumulVar(index).setRange(data.timeWindows[0][0], data.timeWindows[0][1]);
}
for (int i = 0; i < data.vehicleNumber; ++i) {
  routing.addVariableMinimizedByFinalizer(timeDimension.cumulVar(routing.start(i)));
  routing.addVariableMinimizedByFinalizer(timeDimension.cumulVar(routing.end(i)));
}

C#

routing.AddDimension(transitCallbackIndex, // transit callback
                     30,                   // allow waiting time
                     30,                   // vehicle maximum capacities
                     false,                // start cumul to zero
                     "Time");
RoutingDimension timeDimension = routing.GetMutableDimension("Time");
// Add time window constraints for each location except depot.
for (int i = 1; i < data.TimeWindows.GetLength(0); ++i)
{
    long index = manager.NodeToIndex(i);
    timeDimension.CumulVar(index).SetRange(data.TimeWindows[i, 0], data.TimeWindows[i, 1]);
}
// Add time window constraints for each vehicle start node.
for (int i = 0; i < data.VehicleNumber; ++i)
{
    long index = routing.Start(i);
    timeDimension.CumulVar(index).SetRange(data.TimeWindows[0, 0], data.TimeWindows[0, 1]);
}
for (int i = 0; i < data.VehicleNumber; ++i)
{
    routing.AddVariableMinimizedByFinalizer(timeDimension.CumulVar(routing.Start(i)));
    routing.AddVariableMinimizedByFinalizer(timeDimension.CumulVar(routing.End(i)));
}

यह कोड, वाहनों की यात्रा में लगने वाले समय के लिए डाइमेंशन बनाता है. यह डाइमेंशन, यात्रा की दूरी या पिछले उदाहरणों में दिए गए डिमांड के हिसाब से होता है. डाइमेंशन, वाहन के रास्ते पर इकट्ठा होने वाली संख्या का ट्रैक रखते हैं. ऊपर दिए गए कोड में, time_dimension.CumulVar(index) यात्रा में लगने वाला कुल समय है, जब कोई वाहन दिए गए index के साथ जगह पर पहुंचता है.

डाइमेंशन को AddDimension तरीके का इस्तेमाल करके बनाया जाता है, जिसमें नीचे दिए गए तर्क होते हैं:

  • यात्रा में लगने वाले समय के कॉलबैक के लिए इंडेक्स: transit_callback_index
  • स्लैक के लिए ऊपरी सीमा (जगहों पर इंतज़ार का समय): 30. हालांकि, सीवीआरपी के उदाहरण में यह वैल्यू शून्य पर सेट थी, लेकिन समय की कमी की वजह से वीआरपीटीडब्ल्यू को इंतज़ार के समय को बेहतर करना होगा.
  • हर वाहन के रूट में कुल समय के लिए ऊपरी सीमा: 30
  • एक बूलियन वैरिएबल, जो बताता है कि हर वाहन के रूट की शुरुआत में कुल वैरिएबल शून्य पर सेट है या नहीं.
  • डाइमेंशन का नाम.

इसके बाद, लाइनें

Python

for location_idx, time_window in enumerate(data["time_windows"]):
    if location_idx == data["depot"]:
        continue
    index = manager.NodeToIndex(location_idx)
    time_dimension.CumulVar(index).SetRange(time_window[0], time_window[1])

C++

for (int i = 1; i < data.time_windows.size(); ++i) {
  const int64_t index =
      manager.NodeToIndex(RoutingIndexManager::NodeIndex(i));
  time_dimension.CumulVar(index)->SetRange(data.time_windows[i].first,
                                           data.time_windows[i].second);
}

Java

for (int i = 1; i < data.timeWindows.length; ++i) {
  long index = manager.nodeToIndex(i);
  timeDimension.cumulVar(index).setRange(data.timeWindows[i][0], data.timeWindows[i][1]);
}

C#

for (int i = 1; i < data.TimeWindows.GetLength(0); ++i)
{
    long index = manager.NodeToIndex(i);
    timeDimension.CumulVar(index).SetRange(data.TimeWindows[i, 0], data.TimeWindows[i, 1]);
}

गाड़ी के लिए तय किया गया समय के दौरान वाहन को किसी जगह पर जाना चाहिए.

खोज पैरामीटर सेट करना

नीचे दिया गया कोड पहला समाधान ढूंढने के लिए डिफ़ॉल्ट खोज पैरामीटर और एक अनुमान लगाने का तरीका सेट करता है:

Python

search_parameters = pywrapcp.DefaultRoutingSearchParameters()
search_parameters.first_solution_strategy = (
    routing_enums_pb2.FirstSolutionStrategy.PATH_CHEAPEST_ARC
)

C++

RoutingSearchParameters searchParameters = DefaultRoutingSearchParameters();
searchParameters.set_first_solution_strategy(
    FirstSolutionStrategy::PATH_CHEAPEST_ARC);

Java

RoutingSearchParameters searchParameters =
    main.defaultRoutingSearchParameters()
        .toBuilder()
        .setFirstSolutionStrategy(FirstSolutionStrategy.Value.PATH_CHEAPEST_ARC)
        .build();

C#

RoutingSearchParameters searchParameters =
    operations_research_constraint_solver.DefaultRoutingSearchParameters();
searchParameters.FirstSolutionStrategy = FirstSolutionStrategy.Types.Value.PathCheapestArc;

सॉल्यूशन प्रिंटर जोड़ें

समाधान दिखाने वाला फ़ंक्शन नीचे दिया गया है.

Python

def print_solution(data, manager, routing, solution):
    """Prints solution on console."""
    print(f"Objective: {solution.ObjectiveValue()}")
    time_dimension = routing.GetDimensionOrDie("Time")
    total_time = 0
    for vehicle_id in range(data["num_vehicles"]):
        index = routing.Start(vehicle_id)
        plan_output = f"Route for vehicle {vehicle_id}:\n"
        while not routing.IsEnd(index):
            time_var = time_dimension.CumulVar(index)
            plan_output += (
                f"{manager.IndexToNode(index)}"
                f" Time({solution.Min(time_var)},{solution.Max(time_var)})"
                " -> "
            )
            index = solution.Value(routing.NextVar(index))
        time_var = time_dimension.CumulVar(index)
        plan_output += (
            f"{manager.IndexToNode(index)}"
            f" Time({solution.Min(time_var)},{solution.Max(time_var)})\n"
        )
        plan_output += f"Time of the route: {solution.Min(time_var)}min\n"
        print(plan_output)
        total_time += solution.Min(time_var)
    print(f"Total time of all routes: {total_time}min")

C++

//! @brief Print the solution.
//! @param[in] data Data of the problem.
//! @param[in] manager Index manager used.
//! @param[in] routing Routing solver used.
//! @param[in] solution Solution found by the solver.
void PrintSolution(const DataModel& data, const RoutingIndexManager& manager,
                   const RoutingModel& routing, const Assignment& solution) {
  const RoutingDimension& time_dimension = routing.GetDimensionOrDie("Time");
  int64_t total_time{0};
  for (int vehicle_id = 0; vehicle_id < data.num_vehicles; ++vehicle_id) {
    int64_t index = routing.Start(vehicle_id);
    LOG(INFO) << "Route for vehicle " << vehicle_id << ":";
    std::ostringstream route;
    while (!routing.IsEnd(index)) {
      auto time_var = time_dimension.CumulVar(index);
      route << manager.IndexToNode(index).value() << " Time("
            << solution.Min(time_var) << ", " << solution.Max(time_var)
            << ") -> ";
      index = solution.Value(routing.NextVar(index));
    }
    auto time_var = time_dimension.CumulVar(index);
    LOG(INFO) << route.str() << manager.IndexToNode(index).value() << " Time("
              << solution.Min(time_var) << ", " << solution.Max(time_var)
              << ")";
    LOG(INFO) << "Time of the route: " << solution.Min(time_var) << "min";
    total_time += solution.Min(time_var);
  }
  LOG(INFO) << "Total time of all routes: " << total_time << "min";
  LOG(INFO) << "";
  LOG(INFO) << "Advanced usage:";
  LOG(INFO) << "Problem solved in " << routing.solver()->wall_time() << "ms";
}

Java

/// @brief Print the solution.
static void printSolution(
    DataModel data, RoutingModel routing, RoutingIndexManager manager, Assignment solution) {
  // Solution cost.
  logger.info("Objective : " + solution.objectiveValue());
  // Inspect solution.
  RoutingDimension timeDimension = routing.getMutableDimension("Time");
  long totalTime = 0;
  for (int i = 0; i < data.vehicleNumber; ++i) {
    long index = routing.start(i);
    logger.info("Route for Vehicle " + i + ":");
    String route = "";
    while (!routing.isEnd(index)) {
      IntVar timeVar = timeDimension.cumulVar(index);
      route += manager.indexToNode(index) + " Time(" + solution.min(timeVar) + ","
          + solution.max(timeVar) + ") -> ";
      index = solution.value(routing.nextVar(index));
    }
    IntVar timeVar = timeDimension.cumulVar(index);
    route += manager.indexToNode(index) + " Time(" + solution.min(timeVar) + ","
        + solution.max(timeVar) + ")";
    logger.info(route);
    logger.info("Time of the route: " + solution.min(timeVar) + "min");
    totalTime += solution.min(timeVar);
  }
  logger.info("Total time of all routes: " + totalTime + "min");
}

C#

/// <summary>
///   Print the solution.
/// </summary>
static void PrintSolution(in DataModel data, in RoutingModel routing, in RoutingIndexManager manager,
                          in Assignment solution)
{
    Console.WriteLine($"Objective {solution.ObjectiveValue()}:");

    // Inspect solution.
    RoutingDimension timeDimension = routing.GetMutableDimension("Time");
    long totalTime = 0;
    for (int i = 0; i < data.VehicleNumber; ++i)
    {
        Console.WriteLine("Route for Vehicle {0}:", i);
        var index = routing.Start(i);
        while (routing.IsEnd(index) == false)
        {
            var timeVar = timeDimension.CumulVar(index);
            Console.Write("{0} Time({1},{2}) -> ", manager.IndexToNode(index), solution.Min(timeVar),
                          solution.Max(timeVar));
            index = solution.Value(routing.NextVar(index));
        }
        var endTimeVar = timeDimension.CumulVar(index);
        Console.WriteLine("{0} Time({1},{2})", manager.IndexToNode(index), solution.Min(endTimeVar),
                          solution.Max(endTimeVar));
        Console.WriteLine("Time of the route: {0}min", solution.Min(endTimeVar));
        totalTime += solution.Min(endTimeVar);
    }
    Console.WriteLine("Total time of all routes: {0}min", totalTime);
}

समाधान में, वाहन के रास्ते और हर जगह पर सॉल्यूशन विंडो दिखाई जाती है. इस बारे में अगले सेक्शन में बताया गया है.

सॉल्यूशन विंडो

किसी जगह पर सॉल्यूशन विंडो, वह समय अंतराल होता है जिसमें वाहन को शेड्यूल के हिसाब से आने के लिए कहा जाता है.सॉल्यूशन विंडो, कंस्ट्रेंट टाइम विंडो में मौजूद होती है और आम तौर पर उससे छोटी होती है.

ऊपर दिए गए सलूशन प्रिंटर फ़ंक्शन में, सॉल्यूशन विंडो (assignment.Min(time_var), assignment.Max(time_var) के हिसाब से दिखती है, जहां time_var = time_dimension.CumulVar(index) वाहन की कुल यात्रा में लगने वाला समय होता है.

अगर time_var की कम से कम और ज़्यादा से ज़्यादा वैल्यू एक जैसी हैं, तो सलूशन विंडो सिंगल पॉइंट इन समय अवधि के लिए सेट होती है. इसका मतलब है कि वाहन के आते ही वहां से निकल जाना चाहिए. वहीं दूसरी ओर, अगर कम से कम वैल्यू, सबसे कम वैल्यू से कम है, तो वाहन रवाना होने से पहले इंतज़ार कर सकता है.

प्रोग्राम चलाना सेक्शन में, इस उदाहरण की समाधान विंडो के बारे में बताया गया है.

हल करें

इस उदाहरण का मुख्य फ़ंक्शन, TSP के उदाहरण के जैसा है.

Python

solution = routing.SolveWithParameters(search_parameters)

C++

const Assignment* solution = routing.SolveWithParameters(searchParameters);

Java

Assignment solution = routing.solveWithParameters(searchParameters);

C#

Assignment solution = routing.SolveWithParameters(searchParameters);

प्रोग्राम चलाना

प्रोग्राम चलाने पर, यह नीचे दिए गए आउटपुट दिखाता है:

Route for vehicle 0:
 0 Time(0,0) ->  9 Time(2,3) ->  14 Time(7,8) -> 16 Time(11,11) ->  0 Time(18,18)
Time of the route: 18min

Route for vehicle 1:
 0 Time(0,0) -> 7 Time(2,4) -> 1 Time(7,11) -> 4 Time(10,13) -> 3 Time(16,16) -> 0 Time(24,24)
Time of the route: 24min

Route for vehicle 2:
 0 Time(0,0) -> 12 Time(4,4) -> 13 Time(6,6) -> 15 Time(11,11) -> 11 Time(14,14) -> 0 Time(20,20)
Time of the route: 20min

Route for vehicle 3:
 0 Time(0,0) -> 5 Time(3,3) -> 8 Time(5,5) -> 6 Time(7,7) -> 2 Time(10,10) -> 10 Time(14,14) ->
 0 Time(20,20)
Time of the route: 20min

Total time of all routes: 82min

रूट की हर जगह के लिए, Time(a,b) सॉल्यूशन विंडो है: स्टोर पर आने वाले वाहन को शेड्यूल पर बने रहने के लिए, उस टाइम इंटरवल में ऐसा करना चाहिए.

उदाहरण के लिए, वाहन 0 के लिए रास्ते के इस हिस्से पर एक नज़र डालें. 

0 Time(0,0) -> 9 Time(2,3) -> 14 Time(7,8)

जगह 9 पर, सलूशन विंडो Time(2,3) है. इसका मतलब है कि वाहन दो से तीन के बीच पहुंचना चाहिए. ध्यान दें कि सलूशन विंडो उस जगह, (0,&nbsp;3) पर कंस्ट्रेंट टाइम विंडो में मौजूद है. यह समयावधि सवाल से जुड़े डेटा में दी गई है. डिपो से लोकेशन 9 तक पहुंचने में, सलूशन विंडो दो समय पर शुरू होती है. इस तरह, टाइम मैट्रिक्स की 0, 9 एंट्री को समय की दो यूनिट (0, 9 वाली एंट्री) में गिना जाता है.

गाड़ी, 2 से 3 के बीच कभी भी, लोकेशन 9 से क्यों निकल सकती है? इसकी वजह यह है कि जगह 9 से जगह 14 तक की यात्रा में लगने वाला समय 3 है. इसलिए, अगर वाहन 3 से पहले कभी भी निकल जाता है, तो वह जगह 6 समय से पहले 14वें समय पर पहुंच जाएगा, जो वहां जाने के समय से काफ़ी कम है. इसलिए, वाहन को कहीं इंतज़ार करना पड़ता है. उदाहरण के लिए, ड्राइवर को रास्ते में देरी किए बिना, नौवीं जगह पर तीन समय तक इंतज़ार करना पड़ सकता है.

आपने देखा होगा कि कुछ सलूशन विंडो (जैसे कि 9 और 14 पर) के शुरू और खत्म होने का समय अलग-अलग है, जबकि कुछ सलूशन विंडो (जैसे कि 2 और 3) पर शुरू और खत्म होने का समय एक ही है. पहले वाले मामले में, वाहन निकलने से पहले खिड़की के आखिर तक इंतज़ार कर सकते हैं, जबकि दूसरे मामले में, उन्हें खिड़की पर पहुंचने के बाद ही रवाना होना चाहिए.

सॉल्यूशन विंडो को किसी सूची या अरे में सेव करना

टीएसपी सेक्शन में, सूची या अरे के समाधान में रूट को सेव करने का तरीका बताया गया है. वीआरपीटीडब्ल्यू के लिए, सॉल्यूशन विंडो भी सेव की जा सकती है. नीचे दिए गए फ़ंक्शन, समाधान विंडो को एक सूची (Python) या किसी अरे (C++) में सेव करते हैं.

Python

def get_cumul_data(solution, routing, dimension):
  """Get cumulative data from a dimension and store it in an array."""
  # Returns an array cumul_data whose i,j entry contains the minimum and
  # maximum of CumulVar for the dimension at the jth node on route :
  # - cumul_data[i][j][0] is the minimum.
  # - cumul_data[i][j][1] is the maximum.

  cumul_data = []
  for route_nbr in range(routing.vehicles()):
    route_data = []
    index = routing.Start(route_nbr)
    dim_var = dimension.CumulVar(index)
    route_data.append([solution.Min(dim_var), solution.Max(dim_var)])
    while not routing.IsEnd(index):
      index = solution.Value(routing.NextVar(index))
      dim_var = dimension.CumulVar(index)
      route_data.append([solution.Min(dim_var), solution.Max(dim_var)])
    cumul_data.append(route_data)
  return cumul_data

C++

std::vector<std::vector<std::pair<int64_t, int64_t>>> GetCumulData(
    const Assignment& solution, const RoutingModel& routing,
    const RoutingDimension& dimension) {
  // Returns an array cumul_data, whose i, j entry is a pair containing
  // the minimum and maximum of CumulVar for the dimension.:
  // - cumul_data[i][j].first is the minimum.
  // - cumul_data[i][j].second is the maximum.
  std::vector<std::vector<std::pair<int64_t, int64_t>>> cumul_data(
      routing.vehicles());

  for (int vehicle_id = 0; vehicle_id < routing.vehicles(); ++vehicle_id) {
    int64_t index = routing.Start(vehicle_id);
    IntVar* dim_var = dimension.CumulVar(index);
    cumul_data[vehicle_id].emplace_back(solution.Min(dim_var),
                                        solution.Max(dim_var));
    while (!routing.IsEnd(index)) {
      index = solution.Value(routing.NextVar(index));
      IntVar* dim_var = dimension.CumulVar(index);
      cumul_data[vehicle_id].emplace_back(solution.Min(dim_var),
                                          solution.Max(dim_var));
    }
  }
  return cumul_data;
}

फ़ंक्शन, सिर्फ़ समय के साथ-साथ किसी भी डाइमेंशन के लिए, कुल डेटा की कम से कम और ज़्यादा से ज़्यादा वैल्यू सेव करते हैं. मौजूदा उदाहरण में, ये वैल्यू, सलूशन विंडो के लोअर और अपर बाउंड हैं. साथ ही, फ़ंक्शन को भेजा गया डाइमेंशन time_dimension है.

ये फ़ंक्शन, रूट से समाधान और कुल डेटा को प्रिंट करते हैं.

Python

def print_solution(routes, cumul_data):
  """Print the solution."""
  total_time = 0
  route_str = ""
  for i, route in enumerate(routes):
    route_str += "Route " + str(i) + ":\n"
    start_time = cumul_data[i][0][0]
    end_time = cumul_data[i][0][1]
    route_str += (
        "  "
        + str(route[0])
        + " Time("
        + str(start_time)
        + ", "
        + str(end_time)
        + ")"
    )
    for j in range(1, len(route)):
      start_time = cumul_data[i][j][0]
      end_time = cumul_data[i][j][1]
      route_str += (
          " -> "
          + str(route[j])
          + " Time("
          + str(start_time)
          + ", "
          + str(end_time)
          + ")"
      )
    route_str += f"\n  Route time: {start_time}min\n\n"
    total_time += cumul_data[i][len(route) - 1][0]
  route_str += f"Total time: {total_time}min"
  print(route_str)

C++

void PrintSolution(
    const std::vector<std::vector<int>> routes,
    std::vector<std::vector<std::pair<int64_t, int64_t>>> cumul_data) {
  int64_t total_time{0};
  std::ostringstream route;
  for (int vehicle_id = 0; vehicle_id < routes.size(); ++vehicle_id) {
    route << "\nRoute " << vehicle_id << ": \n";

    route << "  " << routes[vehicle_id][0] << " Time("
          << cumul_data[vehicle_id][0].first << ", "
          << cumul_data[vehicle_id][0].second << ") ";
    for (int j = 1; j < routes[vehicle_id].size(); ++j) {
      route << "-> " << routes[vehicle_id][j] << " Time("
            << cumul_data[vehicle_id][j].first << ", "
            << cumul_data[vehicle_id][j].second << ") ";
    }
    route << "\n  Route time: "
          << cumul_data[vehicle_id][routes[vehicle_id].size() - 1].first
          << " minutes\n";

    total_time += cumul_data[vehicle_id][routes[vehicle_id].size() - 1].first;
  }
  route << "\nTotal travel time: " << total_time << " minutes";
  LOG(INFO) << route.str();
}

प्रोग्राम पूरे करना

टाइम विंडो के साथ वाहन के रूट की समस्या के लिए पूरे प्रोग्राम नीचे दिखाए गए हैं.

Python

"""Vehicles Routing Problem (VRP) with Time Windows."""

from ortools.constraint_solver import routing_enums_pb2
from ortools.constraint_solver import pywrapcp


def create_data_model():
    """Stores the data for the problem."""
    data = {}
    data["time_matrix"] = [
        [0, 6, 9, 8, 7, 3, 6, 2, 3, 2, 6, 6, 4, 4, 5, 9, 7],
        [6, 0, 8, 3, 2, 6, 8, 4, 8, 8, 13, 7, 5, 8, 12, 10, 14],
        [9, 8, 0, 11, 10, 6, 3, 9, 5, 8, 4, 15, 14, 13, 9, 18, 9],
        [8, 3, 11, 0, 1, 7, 10, 6, 10, 10, 14, 6, 7, 9, 14, 6, 16],
        [7, 2, 10, 1, 0, 6, 9, 4, 8, 9, 13, 4, 6, 8, 12, 8, 14],
        [3, 6, 6, 7, 6, 0, 2, 3, 2, 2, 7, 9, 7, 7, 6, 12, 8],
        [6, 8, 3, 10, 9, 2, 0, 6, 2, 5, 4, 12, 10, 10, 6, 15, 5],
        [2, 4, 9, 6, 4, 3, 6, 0, 4, 4, 8, 5, 4, 3, 7, 8, 10],
        [3, 8, 5, 10, 8, 2, 2, 4, 0, 3, 4, 9, 8, 7, 3, 13, 6],
        [2, 8, 8, 10, 9, 2, 5, 4, 3, 0, 4, 6, 5, 4, 3, 9, 5],
        [6, 13, 4, 14, 13, 7, 4, 8, 4, 4, 0, 10, 9, 8, 4, 13, 4],
        [6, 7, 15, 6, 4, 9, 12, 5, 9, 6, 10, 0, 1, 3, 7, 3, 10],
        [4, 5, 14, 7, 6, 7, 10, 4, 8, 5, 9, 1, 0, 2, 6, 4, 8],
        [4, 8, 13, 9, 8, 7, 10, 3, 7, 4, 8, 3, 2, 0, 4, 5, 6],
        [5, 12, 9, 14, 12, 6, 6, 7, 3, 3, 4, 7, 6, 4, 0, 9, 2],
        [9, 10, 18, 6, 8, 12, 15, 8, 13, 9, 13, 3, 4, 5, 9, 0, 9],
        [7, 14, 9, 16, 14, 8, 5, 10, 6, 5, 4, 10, 8, 6, 2, 9, 0],
    ]
    data["time_windows"] = [
        (0, 5),  # depot
        (7, 12),  # 1
        (10, 15),  # 2
        (16, 18),  # 3
        (10, 13),  # 4
        (0, 5),  # 5
        (5, 10),  # 6
        (0, 4),  # 7
        (5, 10),  # 8
        (0, 3),  # 9
        (10, 16),  # 10
        (10, 15),  # 11
        (0, 5),  # 12
        (5, 10),  # 13
        (7, 8),  # 14
        (10, 15),  # 15
        (11, 15),  # 16
    ]
    data["num_vehicles"] = 4
    data["depot"] = 0
    return data


def print_solution(data, manager, routing, solution):
    """Prints solution on console."""
    print(f"Objective: {solution.ObjectiveValue()}")
    time_dimension = routing.GetDimensionOrDie("Time")
    total_time = 0
    for vehicle_id in range(data["num_vehicles"]):
        index = routing.Start(vehicle_id)
        plan_output = f"Route for vehicle {vehicle_id}:\n"
        while not routing.IsEnd(index):
            time_var = time_dimension.CumulVar(index)
            plan_output += (
                f"{manager.IndexToNode(index)}"
                f" Time({solution.Min(time_var)},{solution.Max(time_var)})"
                " -> "
            )
            index = solution.Value(routing.NextVar(index))
        time_var = time_dimension.CumulVar(index)
        plan_output += (
            f"{manager.IndexToNode(index)}"
            f" Time({solution.Min(time_var)},{solution.Max(time_var)})\n"
        )
        plan_output += f"Time of the route: {solution.Min(time_var)}min\n"
        print(plan_output)
        total_time += solution.Min(time_var)
    print(f"Total time of all routes: {total_time}min")


def main():
    """Solve the VRP with time windows."""
    # Instantiate the data problem.
    data = create_data_model()

    # Create the routing index manager.
    manager = pywrapcp.RoutingIndexManager(
        len(data["time_matrix"]), data["num_vehicles"], data["depot"]
    )

    # Create Routing Model.
    routing = pywrapcp.RoutingModel(manager)

    # Create and register a transit callback.
    def time_callback(from_index, to_index):
        """Returns the travel time between the two nodes."""
        # Convert from routing variable Index to time matrix NodeIndex.
        from_node = manager.IndexToNode(from_index)
        to_node = manager.IndexToNode(to_index)
        return data["time_matrix"][from_node][to_node]

    transit_callback_index = routing.RegisterTransitCallback(time_callback)

    # Define cost of each arc.
    routing.SetArcCostEvaluatorOfAllVehicles(transit_callback_index)

    # Add Time Windows constraint.
    time = "Time"
    routing.AddDimension(
        transit_callback_index,
        30,  # allow waiting time
        30,  # maximum time per vehicle
        False,  # Don't force start cumul to zero.
        time,
    )
    time_dimension = routing.GetDimensionOrDie(time)
    # Add time window constraints for each location except depot.
    for location_idx, time_window in enumerate(data["time_windows"]):
        if location_idx == data["depot"]:
            continue
        index = manager.NodeToIndex(location_idx)
        time_dimension.CumulVar(index).SetRange(time_window[0], time_window[1])
    # Add time window constraints for each vehicle start node.
    depot_idx = data["depot"]
    for vehicle_id in range(data["num_vehicles"]):
        index = routing.Start(vehicle_id)
        time_dimension.CumulVar(index).SetRange(
            data["time_windows"][depot_idx][0], data["time_windows"][depot_idx][1]
        )

    # Instantiate route start and end times to produce feasible times.
    for i in range(data["num_vehicles"]):
        routing.AddVariableMinimizedByFinalizer(
            time_dimension.CumulVar(routing.Start(i))
        )
        routing.AddVariableMinimizedByFinalizer(time_dimension.CumulVar(routing.End(i)))

    # Setting first solution heuristic.
    search_parameters = pywrapcp.DefaultRoutingSearchParameters()
    search_parameters.first_solution_strategy = (
        routing_enums_pb2.FirstSolutionStrategy.PATH_CHEAPEST_ARC
    )

    # Solve the problem.
    solution = routing.SolveWithParameters(search_parameters)

    # Print solution on console.
    if solution:
        print_solution(data, manager, routing, solution)


if __name__ == "__main__":
    main()

C++

#include <cstdint>
#include <sstream>
#include <string>
#include <utility>
#include <vector>

#include "ortools/constraint_solver/routing.h"
#include "ortools/constraint_solver/routing_enums.pb.h"
#include "ortools/constraint_solver/routing_index_manager.h"
#include "ortools/constraint_solver/routing_parameters.h"

namespace operations_research {
struct DataModel {
  const std::vector<std::vector<int64_t>> time_matrix{
      {0, 6, 9, 8, 7, 3, 6, 2, 3, 2, 6, 6, 4, 4, 5, 9, 7},
      {6, 0, 8, 3, 2, 6, 8, 4, 8, 8, 13, 7, 5, 8, 12, 10, 14},
      {9, 8, 0, 11, 10, 6, 3, 9, 5, 8, 4, 15, 14, 13, 9, 18, 9},
      {8, 3, 11, 0, 1, 7, 10, 6, 10, 10, 14, 6, 7, 9, 14, 6, 16},
      {7, 2, 10, 1, 0, 6, 9, 4, 8, 9, 13, 4, 6, 8, 12, 8, 14},
      {3, 6, 6, 7, 6, 0, 2, 3, 2, 2, 7, 9, 7, 7, 6, 12, 8},
      {6, 8, 3, 10, 9, 2, 0, 6, 2, 5, 4, 12, 10, 10, 6, 15, 5},
      {2, 4, 9, 6, 4, 3, 6, 0, 4, 4, 8, 5, 4, 3, 7, 8, 10},
      {3, 8, 5, 10, 8, 2, 2, 4, 0, 3, 4, 9, 8, 7, 3, 13, 6},
      {2, 8, 8, 10, 9, 2, 5, 4, 3, 0, 4, 6, 5, 4, 3, 9, 5},
      {6, 13, 4, 14, 13, 7, 4, 8, 4, 4, 0, 10, 9, 8, 4, 13, 4},
      {6, 7, 15, 6, 4, 9, 12, 5, 9, 6, 10, 0, 1, 3, 7, 3, 10},
      {4, 5, 14, 7, 6, 7, 10, 4, 8, 5, 9, 1, 0, 2, 6, 4, 8},
      {4, 8, 13, 9, 8, 7, 10, 3, 7, 4, 8, 3, 2, 0, 4, 5, 6},
      {5, 12, 9, 14, 12, 6, 6, 7, 3, 3, 4, 7, 6, 4, 0, 9, 2},
      {9, 10, 18, 6, 8, 12, 15, 8, 13, 9, 13, 3, 4, 5, 9, 0, 9},
      {7, 14, 9, 16, 14, 8, 5, 10, 6, 5, 4, 10, 8, 6, 2, 9, 0},
  };
  const std::vector<std::pair<int64_t, int64_t>> time_windows{
      {0, 5},    // depot
      {7, 12},   // 1
      {10, 15},  // 2
      {16, 18},  // 3
      {10, 13},  // 4
      {0, 5},    // 5
      {5, 10},   // 6
      {0, 4},    // 7
      {5, 10},   // 8
      {0, 3},    // 9
      {10, 16},  // 10
      {10, 15},  // 11
      {0, 5},    // 12
      {5, 10},   // 13
      {7, 8},    // 14
      {10, 15},  // 15
      {11, 15},  // 16
  };
  const int num_vehicles = 4;
  const RoutingIndexManager::NodeIndex depot{0};
};

//! @brief Print the solution.
//! @param[in] data Data of the problem.
//! @param[in] manager Index manager used.
//! @param[in] routing Routing solver used.
//! @param[in] solution Solution found by the solver.
void PrintSolution(const DataModel& data, const RoutingIndexManager& manager,
                   const RoutingModel& routing, const Assignment& solution) {
  const RoutingDimension& time_dimension = routing.GetDimensionOrDie("Time");
  int64_t total_time{0};
  for (int vehicle_id = 0; vehicle_id < data.num_vehicles; ++vehicle_id) {
    int64_t index = routing.Start(vehicle_id);
    LOG(INFO) << "Route for vehicle " << vehicle_id << ":";
    std::ostringstream route;
    while (!routing.IsEnd(index)) {
      auto time_var = time_dimension.CumulVar(index);
      route << manager.IndexToNode(index).value() << " Time("
            << solution.Min(time_var) << ", " << solution.Max(time_var)
            << ") -> ";
      index = solution.Value(routing.NextVar(index));
    }
    auto time_var = time_dimension.CumulVar(index);
    LOG(INFO) << route.str() << manager.IndexToNode(index).value() << " Time("
              << solution.Min(time_var) << ", " << solution.Max(time_var)
              << ")";
    LOG(INFO) << "Time of the route: " << solution.Min(time_var) << "min";
    total_time += solution.Min(time_var);
  }
  LOG(INFO) << "Total time of all routes: " << total_time << "min";
  LOG(INFO) << "";
  LOG(INFO) << "Advanced usage:";
  LOG(INFO) << "Problem solved in " << routing.solver()->wall_time() << "ms";
}

void VrpTimeWindows() {
  // Instantiate the data problem.
  DataModel data;

  // Create Routing Index Manager
  RoutingIndexManager manager(data.time_matrix.size(), data.num_vehicles,
                              data.depot);

  // Create Routing Model.
  RoutingModel routing(manager);

  // Create and register a transit callback.
  const int transit_callback_index = routing.RegisterTransitCallback(
      [&data, &manager](const int64_t from_index,
                        const int64_t to_index) -> int64_t {
        // Convert from routing variable Index to time matrix NodeIndex.
        const int from_node = manager.IndexToNode(from_index).value();
        const int to_node = manager.IndexToNode(to_index).value();
        return data.time_matrix[from_node][to_node];
      });

  // Define cost of each arc.
  routing.SetArcCostEvaluatorOfAllVehicles(transit_callback_index);

  // Add Time constraint.
  const std::string time = "Time";
  routing.AddDimension(transit_callback_index,  // transit callback index
                       int64_t{30},             // allow waiting time
                       int64_t{30},             // maximum time per vehicle
                       false,  // Don't force start cumul to zero
                       time);
  const RoutingDimension& time_dimension = routing.GetDimensionOrDie(time);
  // Add time window constraints for each location except depot.
  for (int i = 1; i < data.time_windows.size(); ++i) {
    const int64_t index =
        manager.NodeToIndex(RoutingIndexManager::NodeIndex(i));
    time_dimension.CumulVar(index)->SetRange(data.time_windows[i].first,
                                             data.time_windows[i].second);
  }
  // Add time window constraints for each vehicle start node.
  for (int i = 0; i < data.num_vehicles; ++i) {
    const int64_t index = routing.Start(i);
    time_dimension.CumulVar(index)->SetRange(data.time_windows[0].first,
                                             data.time_windows[0].second);
  }

  // Instantiate route start and end times to produce feasible times.
  for (int i = 0; i < data.num_vehicles; ++i) {
    routing.AddVariableMinimizedByFinalizer(
        time_dimension.CumulVar(routing.Start(i)));
    routing.AddVariableMinimizedByFinalizer(
        time_dimension.CumulVar(routing.End(i)));
  }

  // Setting first solution heuristic.
  RoutingSearchParameters searchParameters = DefaultRoutingSearchParameters();
  searchParameters.set_first_solution_strategy(
      FirstSolutionStrategy::PATH_CHEAPEST_ARC);

  // Solve the problem.
  const Assignment* solution = routing.SolveWithParameters(searchParameters);

  // Print solution on console.
  PrintSolution(data, manager, routing, *solution);
}
}  // namespace operations_research

int main(int /*argc*/, char* /*argv*/[]) {
  operations_research::VrpTimeWindows();
  return EXIT_SUCCESS;
}

Java

package com.google.ortools.constraintsolver.samples;
import com.google.ortools.Loader;
import com.google.ortools.constraintsolver.Assignment;
import com.google.ortools.constraintsolver.FirstSolutionStrategy;
import com.google.ortools.constraintsolver.IntVar;
import com.google.ortools.constraintsolver.RoutingDimension;
import com.google.ortools.constraintsolver.RoutingIndexManager;
import com.google.ortools.constraintsolver.RoutingModel;
import com.google.ortools.constraintsolver.RoutingSearchParameters;
import com.google.ortools.constraintsolver.main;
import java.util.logging.Logger;

/** VRPTW. */
public class VrpTimeWindows {
  private static final Logger logger = Logger.getLogger(VrpTimeWindows.class.getName());
  static class DataModel {
    public final long[][] timeMatrix = {
        {0, 6, 9, 8, 7, 3, 6, 2, 3, 2, 6, 6, 4, 4, 5, 9, 7},
        {6, 0, 8, 3, 2, 6, 8, 4, 8, 8, 13, 7, 5, 8, 12, 10, 14},
        {9, 8, 0, 11, 10, 6, 3, 9, 5, 8, 4, 15, 14, 13, 9, 18, 9},
        {8, 3, 11, 0, 1, 7, 10, 6, 10, 10, 14, 6, 7, 9, 14, 6, 16},
        {7, 2, 10, 1, 0, 6, 9, 4, 8, 9, 13, 4, 6, 8, 12, 8, 14},
        {3, 6, 6, 7, 6, 0, 2, 3, 2, 2, 7, 9, 7, 7, 6, 12, 8},
        {6, 8, 3, 10, 9, 2, 0, 6, 2, 5, 4, 12, 10, 10, 6, 15, 5},
        {2, 4, 9, 6, 4, 3, 6, 0, 4, 4, 8, 5, 4, 3, 7, 8, 10},
        {3, 8, 5, 10, 8, 2, 2, 4, 0, 3, 4, 9, 8, 7, 3, 13, 6},
        {2, 8, 8, 10, 9, 2, 5, 4, 3, 0, 4, 6, 5, 4, 3, 9, 5},
        {6, 13, 4, 14, 13, 7, 4, 8, 4, 4, 0, 10, 9, 8, 4, 13, 4},
        {6, 7, 15, 6, 4, 9, 12, 5, 9, 6, 10, 0, 1, 3, 7, 3, 10},
        {4, 5, 14, 7, 6, 7, 10, 4, 8, 5, 9, 1, 0, 2, 6, 4, 8},
        {4, 8, 13, 9, 8, 7, 10, 3, 7, 4, 8, 3, 2, 0, 4, 5, 6},
        {5, 12, 9, 14, 12, 6, 6, 7, 3, 3, 4, 7, 6, 4, 0, 9, 2},
        {9, 10, 18, 6, 8, 12, 15, 8, 13, 9, 13, 3, 4, 5, 9, 0, 9},
        {7, 14, 9, 16, 14, 8, 5, 10, 6, 5, 4, 10, 8, 6, 2, 9, 0},
    };
    public final long[][] timeWindows = {
        {0, 5}, // depot
        {7, 12}, // 1
        {10, 15}, // 2
        {16, 18}, // 3
        {10, 13}, // 4
        {0, 5}, // 5
        {5, 10}, // 6
        {0, 4}, // 7
        {5, 10}, // 8
        {0, 3}, // 9
        {10, 16}, // 10
        {10, 15}, // 11
        {0, 5}, // 12
        {5, 10}, // 13
        {7, 8}, // 14
        {10, 15}, // 15
        {11, 15}, // 16
    };
    public final int vehicleNumber = 4;
    public final int depot = 0;
  }

  /// @brief Print the solution.
  static void printSolution(
      DataModel data, RoutingModel routing, RoutingIndexManager manager, Assignment solution) {
    // Solution cost.
    logger.info("Objective : " + solution.objectiveValue());
    // Inspect solution.
    RoutingDimension timeDimension = routing.getMutableDimension("Time");
    long totalTime = 0;
    for (int i = 0; i < data.vehicleNumber; ++i) {
      long index = routing.start(i);
      logger.info("Route for Vehicle " + i + ":");
      String route = "";
      while (!routing.isEnd(index)) {
        IntVar timeVar = timeDimension.cumulVar(index);
        route += manager.indexToNode(index) + " Time(" + solution.min(timeVar) + ","
            + solution.max(timeVar) + ") -> ";
        index = solution.value(routing.nextVar(index));
      }
      IntVar timeVar = timeDimension.cumulVar(index);
      route += manager.indexToNode(index) + " Time(" + solution.min(timeVar) + ","
          + solution.max(timeVar) + ")";
      logger.info(route);
      logger.info("Time of the route: " + solution.min(timeVar) + "min");
      totalTime += solution.min(timeVar);
    }
    logger.info("Total time of all routes: " + totalTime + "min");
  }

  public static void main(String[] args) throws Exception {
    Loader.loadNativeLibraries();
    // Instantiate the data problem.
    final DataModel data = new DataModel();

    // Create Routing Index Manager
    RoutingIndexManager manager =
        new RoutingIndexManager(data.timeMatrix.length, data.vehicleNumber, data.depot);

    // Create Routing Model.
    RoutingModel routing = new RoutingModel(manager);

    // Create and register a transit callback.
    final int transitCallbackIndex =
        routing.registerTransitCallback((long fromIndex, long toIndex) -> {
          // Convert from routing variable Index to user NodeIndex.
          int fromNode = manager.indexToNode(fromIndex);
          int toNode = manager.indexToNode(toIndex);
          return data.timeMatrix[fromNode][toNode];
        });

    // Define cost of each arc.
    routing.setArcCostEvaluatorOfAllVehicles(transitCallbackIndex);

    // Add Time constraint.
    routing.addDimension(transitCallbackIndex, // transit callback
        30, // allow waiting time
        30, // vehicle maximum capacities
        false, // start cumul to zero
        "Time");
    RoutingDimension timeDimension = routing.getMutableDimension("Time");
    // Add time window constraints for each location except depot.
    for (int i = 1; i < data.timeWindows.length; ++i) {
      long index = manager.nodeToIndex(i);
      timeDimension.cumulVar(index).setRange(data.timeWindows[i][0], data.timeWindows[i][1]);
    }
    // Add time window constraints for each vehicle start node.
    for (int i = 0; i < data.vehicleNumber; ++i) {
      long index = routing.start(i);
      timeDimension.cumulVar(index).setRange(data.timeWindows[0][0], data.timeWindows[0][1]);
    }

    // Instantiate route start and end times to produce feasible times.
    for (int i = 0; i < data.vehicleNumber; ++i) {
      routing.addVariableMinimizedByFinalizer(timeDimension.cumulVar(routing.start(i)));
      routing.addVariableMinimizedByFinalizer(timeDimension.cumulVar(routing.end(i)));
    }

    // Setting first solution heuristic.
    RoutingSearchParameters searchParameters =
        main.defaultRoutingSearchParameters()
            .toBuilder()
            .setFirstSolutionStrategy(FirstSolutionStrategy.Value.PATH_CHEAPEST_ARC)
            .build();

    // Solve the problem.
    Assignment solution = routing.solveWithParameters(searchParameters);

    // Print solution on console.
    printSolution(data, routing, manager, solution);
  }
}
// [END_program_part1]

C#

using System;
using System.Collections.Generic;
using Google.OrTools.ConstraintSolver;

/// <summary>
///   Vehicles Routing Problem (VRP) with Time Windows.
/// </summary>
public class VrpTimeWindows
{
    class DataModel
    {
        public long[,] TimeMatrix = {
            { 0, 6, 9, 8, 7, 3, 6, 2, 3, 2, 6, 6, 4, 4, 5, 9, 7 },
            { 6, 0, 8, 3, 2, 6, 8, 4, 8, 8, 13, 7, 5, 8, 12, 10, 14 },
            { 9, 8, 0, 11, 10, 6, 3, 9, 5, 8, 4, 15, 14, 13, 9, 18, 9 },
            { 8, 3, 11, 0, 1, 7, 10, 6, 10, 10, 14, 6, 7, 9, 14, 6, 16 },
            { 7, 2, 10, 1, 0, 6, 9, 4, 8, 9, 13, 4, 6, 8, 12, 8, 14 },
            { 3, 6, 6, 7, 6, 0, 2, 3, 2, 2, 7, 9, 7, 7, 6, 12, 8 },
            { 6, 8, 3, 10, 9, 2, 0, 6, 2, 5, 4, 12, 10, 10, 6, 15, 5 },
            { 2, 4, 9, 6, 4, 3, 6, 0, 4, 4, 8, 5, 4, 3, 7, 8, 10 },
            { 3, 8, 5, 10, 8, 2, 2, 4, 0, 3, 4, 9, 8, 7, 3, 13, 6 },
            { 2, 8, 8, 10, 9, 2, 5, 4, 3, 0, 4, 6, 5, 4, 3, 9, 5 },
            { 6, 13, 4, 14, 13, 7, 4, 8, 4, 4, 0, 10, 9, 8, 4, 13, 4 },
            { 6, 7, 15, 6, 4, 9, 12, 5, 9, 6, 10, 0, 1, 3, 7, 3, 10 },
            { 4, 5, 14, 7, 6, 7, 10, 4, 8, 5, 9, 1, 0, 2, 6, 4, 8 },
            { 4, 8, 13, 9, 8, 7, 10, 3, 7, 4, 8, 3, 2, 0, 4, 5, 6 },
            { 5, 12, 9, 14, 12, 6, 6, 7, 3, 3, 4, 7, 6, 4, 0, 9, 2 },
            { 9, 10, 18, 6, 8, 12, 15, 8, 13, 9, 13, 3, 4, 5, 9, 0, 9 },
            { 7, 14, 9, 16, 14, 8, 5, 10, 6, 5, 4, 10, 8, 6, 2, 9, 0 },
        };
        public long[,] TimeWindows = {
            { 0, 5 },   // depot
            { 7, 12 },  // 1
            { 10, 15 }, // 2
            { 16, 18 }, // 3
            { 10, 13 }, // 4
            { 0, 5 },   // 5
            { 5, 10 },  // 6
            { 0, 4 },   // 7
            { 5, 10 },  // 8
            { 0, 3 },   // 9
            { 10, 16 }, // 10
            { 10, 15 }, // 11
            { 0, 5 },   // 12
            { 5, 10 },  // 13
            { 7, 8 },   // 14
            { 10, 15 }, // 15
            { 11, 15 }, // 16
        };
        public int VehicleNumber = 4;
        public int Depot = 0;
    };

    /// <summary>
    ///   Print the solution.
    /// </summary>
    static void PrintSolution(in DataModel data, in RoutingModel routing, in RoutingIndexManager manager,
                              in Assignment solution)
    {
        Console.WriteLine($"Objective {solution.ObjectiveValue()}:");

        // Inspect solution.
        RoutingDimension timeDimension = routing.GetMutableDimension("Time");
        long totalTime = 0;
        for (int i = 0; i < data.VehicleNumber; ++i)
        {
            Console.WriteLine("Route for Vehicle {0}:", i);
            var index = routing.Start(i);
            while (routing.IsEnd(index) == false)
            {
                var timeVar = timeDimension.CumulVar(index);
                Console.Write("{0} Time({1},{2}) -> ", manager.IndexToNode(index), solution.Min(timeVar),
                              solution.Max(timeVar));
                index = solution.Value(routing.NextVar(index));
            }
            var endTimeVar = timeDimension.CumulVar(index);
            Console.WriteLine("{0} Time({1},{2})", manager.IndexToNode(index), solution.Min(endTimeVar),
                              solution.Max(endTimeVar));
            Console.WriteLine("Time of the route: {0}min", solution.Min(endTimeVar));
            totalTime += solution.Min(endTimeVar);
        }
        Console.WriteLine("Total time of all routes: {0}min", totalTime);
    }

    public static void Main(String[] args)
    {
        // Instantiate the data problem.
        DataModel data = new DataModel();

        // Create Routing Index Manager
        RoutingIndexManager manager =
            new RoutingIndexManager(data.TimeMatrix.GetLength(0), data.VehicleNumber, data.Depot);

        // Create Routing Model.
        RoutingModel routing = new RoutingModel(manager);

        // Create and register a transit callback.
        int transitCallbackIndex = routing.RegisterTransitCallback((long fromIndex, long toIndex) =>
                                                                   {
                                                                       // Convert from routing variable Index to time
                                                                       // matrix NodeIndex.
                                                                       var fromNode = manager.IndexToNode(fromIndex);
                                                                       var toNode = manager.IndexToNode(toIndex);
                                                                       return data.TimeMatrix[fromNode, toNode];
                                                                   });

        // Define cost of each arc.
        routing.SetArcCostEvaluatorOfAllVehicles(transitCallbackIndex);

        // Add Time constraint.
        routing.AddDimension(transitCallbackIndex, // transit callback
                             30,                   // allow waiting time
                             30,                   // vehicle maximum capacities
                             false,                // start cumul to zero
                             "Time");
        RoutingDimension timeDimension = routing.GetMutableDimension("Time");
        // Add time window constraints for each location except depot.
        for (int i = 1; i < data.TimeWindows.GetLength(0); ++i)
        {
            long index = manager.NodeToIndex(i);
            timeDimension.CumulVar(index).SetRange(data.TimeWindows[i, 0], data.TimeWindows[i, 1]);
        }
        // Add time window constraints for each vehicle start node.
        for (int i = 0; i < data.VehicleNumber; ++i)
        {
            long index = routing.Start(i);
            timeDimension.CumulVar(index).SetRange(data.TimeWindows[0, 0], data.TimeWindows[0, 1]);
        }

        // Instantiate route start and end times to produce feasible times.
        for (int i = 0; i < data.VehicleNumber; ++i)
        {
            routing.AddVariableMinimizedByFinalizer(timeDimension.CumulVar(routing.Start(i)));
            routing.AddVariableMinimizedByFinalizer(timeDimension.CumulVar(routing.End(i)));
        }

        // Setting first solution heuristic.
        RoutingSearchParameters searchParameters =
            operations_research_constraint_solver.DefaultRoutingSearchParameters();
        searchParameters.FirstSolutionStrategy = FirstSolutionStrategy.Types.Value.PathCheapestArc;

        // Solve the problem.
        Assignment solution = routing.SolveWithParameters(searchParameters);

        // Print solution on console.
        PrintSolution(data, routing, manager, solution);
    }
}